Algebraïsche strucuren

Hoe zie je in een CAYLEY-tafel dat de inwendige strucuur commutatief of associatief is?En hoe kan je zien dat er een natuurlijk,symmetrisch en idempotent element is?

Jojo
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 17 februari 2005

Antwoord

Hallo,

- commutatief is vrij eenvoudig: dan moet gelden dat ab = ba, dus het element dat in de a-rij en de b-kolom staat moet gelijk zijn aan het element dat in de a-kolom en in de b-rij staat. Grafisch komt dit neer op het feit dat de diagonaal (van linksboven naar rechtsonder) een symmetrieas moet zijn.
Vb in modulo 4 met als bewerking de optelling:
+ | 0 1 2 3
---------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2

- Ik denk dat je neutraal element bedoelt ipv natuurlijk? Een neutraal element e, zoals de nul voor de optelling of de 1 voor de vermenigvuldiging, heeft als eigenschap dat ea = ae = a voor elke a. In de tabel hierboven is de nul een neutraal element, dat zie je omdat in de 0-rij juist dezelfde elementen staan als erboven. En in de 0-kolom staan dezelfde elementen als links ervan.

- Symmetrisch element, dus een inverse. Dat uit zich in de Cayleytabel door het feit dat op elke rij, en op elke kolom, het neutraal element terug te vinden is. Want dan geldt dat voor elk element a er een b bestaat zodat a+b=0 en b+a=0.

- Idempotent element: dat is een element waarvoor aa=a. Die vind je dus terug door op de diagonaal te kijken, en wanneer op die diagonaal in de a-rij het element a opduikt, is a idempotent. Het neutraal element is altijd idempotent. Voor een niet-triviaal voorbeeld kan je kijken naar modulo 6 met de vermenigvuldiging: daar geldt dat 3*3=3, en dus zal je Cayleytabel er zo uitzien:
* | 0 1 2 3 4 5
-----------------
0 | . . . . . .
1 | . . . . . .
2 | . . . . . .
3 | . . . 3 . .
4 | . . . . . .
5 | . . . . . .

- Associativiteit is volgens mij moeilijker af te lezen op zo een tabel... Je moet dan immers nagaan of (ab)c = a(bc). In de tabel: zoek het element in de a-kolom en de b-rij, dat is ab, zoek dan het element op de ab-kolom en de c-rij, dat is (ab)c. Op dezelfde wijze zoek je a(bc) en je kijkt of ze gelijk zijn. En dit voor alle a,b,c: dat is heel omslachtig.

Zo, ik hoop dat het duidelijk is...

Groeten,
Christophe.

Christophe
vrijdag 18 februari 2005

©2001-2024 WisFaq