Bewijs halveringsformule
Hallo, kan iemand me helpen met het bewijzen van de halveringsformule, ik heb de somformule wel al bewezen van behulp van de stelling van Plotzemaeus.
Ik snap niet waarom ze in de somformule de b door a vervangen en zo de verdubbelingsformule krijgen, en de a vervangen door 1/4a en dan de halveringsformule krijgen. Ik kan het bewijs wiskundig wel volgen, maar zie gewoonweg niet waarom ze dat invullen. Kan iemand dit misschien wat duidelijker maken met een plaatje oid?
Alvast bedankt
stepha
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 7 februari 2005
Antwoord
Dag Stephan,
Ik probeer het eerst zonder plaatje (moet kunnen!). Mogelijk dat ik toch een niet door jou gewenste kant opga, omdat ik niet weet wie je met 'ze' bedoelt.
Enneh, die Plotzemaeus is natuurlijk Ptolemaeus...
De somformule
sin(A + B) = sin(A)·cos(B) + cos(A)·sin(B)
geldt (uiteindelijk) voor alle waarden van A en B (A en B in graden, die ik verder maar weglaat).
Kies je (bijvoorbeeld) A = 45 en B = 30, dan kan je de sinus van 75 exact uitrekenen:
sin(75) = sin(30 + 45)= sin(30)·cos(45) + cos(30)·sin(45) =1/2·1/2√2 + 1/2√3·1/2√2 = 1/4(√2 + √6)
Maar je kan ook andere 'bijzondere' waarden voor A en B nemen; nu dan maar eens A = B = a (waarin we de waarde van a in het midden laten).
Dat geeft
sin(a + a) = sin(a)·cos(a) + cos(a)·sin(a)
zodat
sin(2a) = 2sin(a)·cos(a) ......(·)
En dan natuurlijk ook A = B = 1/2p ...
sin(1/2p + 1/2p) =sin(1/2p)·cos(1/2p) + cos(1/2p)·sin(1/2p)
zodat (wat p ook is)
sin(p) = 2sin(1/2p)·cos(1/2p)
En dit krijg je ook als je in de met (·) aangegeven formule a = 1/2p invult.
Je zou dus kunnen zeggen: de verdubbelingsformule is precies hetzelfde als de halveringsformule (het hangt er maar vanaf wat je invult).
Het komt er dus op neer, dat je voor A en B in de som-formule 'handige waarden' kiest. Handig zijn dan de waarden die tot het gewenste resultaat leiden...
En tot slot, toch maar een plaatje via onder staande link.
Zie Verdubbelingsformules
maandag 7 februari 2005
©2001-2024 WisFaq
|