Convergentie van rijen

Hallo!

Uhm..ik heb een paar vraagjes over convergentie van rijen. Het meeste snap ik wel, maar ik heb een paar dingen die ik niet begrijp

Zo is er een vraag over twee functies, f en g
met f(x)= √x en g(x)= lnx met domein $<$0,$\to>$

Ik hoop dat je dit begrijpt, met al die vreemde symbolen, maar goed..
Nu moet ik met de insluitstelling bewijzen dat lim n$\to\infty$ ln n/n = 0

Maar hoe moet ik dit aanpakken, want ik begrijp niet wat ze willen, en ook niet hoe ik dit aan moet pakken

En zo heb ik nog zo'n opgave, met twee functies, f en g met f(x)= x en g(x)=ln x op het domein $<$0,$\to$ $>$
Hoe kan ik dan laten zien dat voor alle x in het domein geldt dat f(x)$>$g(x)?
En hoe kan ik met de insluitstelling bewijzen dat lim n-$>\infty$ ln n/n²=0, en wat hebben die twee onderdelen van de vraag met elkaar te maken? Waar komen bijvoorbeeld die ln n en die n² vandaan, want die komen toh helemaal niet in die twee functies voor?

Vervolgens moest ik naar deze limietberekening kijken:

lim n-$>\infty$·sin (1/n)= lim n-$>\infty$sin(1/n)·lim n-$>\infty$n = 0·lim n$\to$ n = 0
Dit is fout, maar wat er precies fout is begrijp ik niet...

Ik hoop dat u me kunt helpen, alvast heel erg bedankt!

Liefs lizette

lizett
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 10 januari 2005

Antwoord

Okay, het is me inmiddels een beetje duidelijk waar het probleem ligt en wat je niveau is.

De kern van de zaak is het berekenen van linieten met de insluitstelling. Deze zegt iets als: Laten a_n en c_n convergente rijen zijn met lim n$\to\infty$ a_n = lim n$\to\infty$ c_n = L. En laat b_n een rij zijn zodanig dat vanaf zekere grens geldt '_n a_n $\leq$ b_n $\leq$ c_n dan is ook limiet b_n = L

Hoe gebruik je nu die insluitstelling......
1) Hierboven staat 'vanaf zekere grens' omdat je toch de limiet neemt voor n$\to\infty$ hoef je niet voor alle n te bewijzen dat a_n $\leq$ b_n $\leq$ c_n, het is ook genoeg om te bewijzen dat dat vanaf bijvoorbeeld n=100 geldt.
2) vaak heb je een moeilijke functie of rij waarvan je niet weet wat die doet, ln(n)/n bijvoorbeeld. Als je grote waarden voor n in je rekenapparaat invoert krijg je wel de indruk dat dat naar 0 toe zal gaan. Maar een bewijs is dat niet. Je probeert dus de ln(n)/n links en rechts in te sluiten door makkelijkere functies waarvan je wel weet waar ze naar toe gaan. Omdat die insluiting niet voor alle n hoeft te gelden maar bijvoorbeeld pas vanaf n=4 kun je links insluiten met 0. Het probleem zit aan de rechterkant.
3) In plaats van naar de rij ln(n)/n te kijken kun je ook de functie ln(x)/x beschouwen.

Ik laat nu zien dat voor alle x$\geq$4 geldt 0 $\leq$ ln(x)/x $\leq$ √x/x ( = 1/√x)
Het linkerdeel, met die 0, moge duidelijk zijn. Dan ben ik klaar want voor grote x geldt dat 1/√x naar 0 gaat dus gaat ook ln(x)/x dan naar 0.

Rest mij nog te bewijzen dat ln(x)$<$√x voor x $\geq$ 4.

Dat is de essentie van hetgeen in jouw vraag onderaan staat. Met de opmerking daarbij dat het niet voor het hele domein hoeft te gelden. Wanneer je zoiets bewijst vanaf x=4 is dat ook goed omdat toch de limiet genomen moet worden voor x$\to\infty$.

Hoe bewijs je dat x$>$ln(x) voor x$>$0. Dat bewijs is een beetje 'smerig' maar uiterst doeltreffend: Voor 0$<$x$\leq$1 is er niets aan de hand ln(x) is daar $\leq$ 0 terwijl x daar $>$0 is. dus klopt dat.
Kijk nu naar de grafiek:



Bij 1 is de waarde van f(x)=x=1 en de waarde van g(x)=ln(x)=0. Nu kun je bewijzen dat de g(x) die f(x) nooit meer inhaalt. En dat doe je door te bewijzen dat f'(x) $>$ g'(x) en dat is heel makkelijk voor x$>$1

Bij de wortelfunctie doe je hetzelfde. Bewijs dat f(x)=√x $>$ g(x) = ln(x) voor x$\geq$4



Voor x = 4 heb je √4 $>$ ln 4 (dat volgt direct uit het grondtal e dat groter is dan 2)
Nu te bewijzen we dat f'(x)$>$g'(x) ofwel 1/(2√x)$>$1/x voor x$>$4 ofwel 2√x $<$ x voor x$>$4. En dat valt wel mee (kwadrateren en het staat er al).

Tja aflezen uit de grafiek zou nog makkelijker zijn..... maar ik neem niet aan dat dat de bedoeling is.

Beetje duidelijk zo ?

Met vriendelijke groet
JaDeX

dinsdag 11 januari 2005

©2001-2024 WisFaq