Stelling van Weierstrass-Bolzano

Ik geraak niet uit aan de stelling van Weierstrass-Bolzano..toch, ik kan erin komen, maar de symbolische verklaring in het bewijs is voor mij een klein beetje chinees...
stelling: Zij {x_n} een rij van reële getallen die naar onder en naar boven begrensd is door de getallen a en b. Dan heeft deze rij minstens één ophopingspunt lmet a=l=b.

Herlie
Student universiteit België - zondag 26 december 2004

Antwoord

Laat alle getallen van de rij de verzameling G vormen en dat elk getal x uit G voldoet aan a x b.
Kies nu het getal v zódanig dat G oneindig veel getallen x bevat die voldoen aan a x v.
Noem V de verzameling van alle mogelijke getallen v.
V is zeker niet leeg, want b behoort ertoe en bovendien is V naar beneden begrensd, want V bevat geen getal a.
V heeft dus een grootste onderste grens en die noemen we c.
Dit getal c is nu een verdichtingspunt ( = ophopingspunt).
Neem eens een willekeurig getal d0.
V bevat een getal dat c + d is en dus bevat G oneindig veel getallen die voldoen aan a x c + d (dit is namelijk de definitie van V).
Daar c - d niet tot V behoort ( c was de ondergrens!) kunnen er tussen a en c - d maar eindig veel getallen van G liggen. En dus zijn er oneindig veel getallen van G die voldoen aan c - d x c + d.
Omdat dit voor elke d0 geldt is c tot ophopingspunt verklaard.

MBL
dinsdag 28 december 2004

©2001-2024 WisFaq