Symmetrische polynomen en invariantie

Hallo wisfaq,

Een polynoom in R=Z[T1,T2,...,Tn](R een ring, Z de gehele getallen, Ti's zijn variabelen) heet symm als het invariant is onder alle permutaties van de variabelen Ti.Deze definitie begrijp ik niet en daarom lukt het me niet om de volgende vraag op te lossen:
Stel dat f in Z[T1,T2,...,Tn] invariant is onder iedere verwisseling Ti-Tj van twee variabelen.Is f noodzakelijkerwijs symm?

Groeten,Viky

viky
Student hbo - maandag 15 november 2004

Antwoord

Hallo Viky,

Dat de polynoom invariant is onder alle permutaties van de variabelen betekent het volgende: stel dat je een polynoom f hebt in de n variabelen T1 tot Tn. Nu bekijk je een permutatie van n elementen en je past die toe op de variabelen. Bijvoorbeeld als je de permutatie (1 2 3) bekijkt, dan moet je overal in je oorspronkelijke polynoom, T1 vervangen door T2, T2 door T3 en T3 door T1. Als je na deze vervangingen nog steeds dezelfde polynoom uitkomt, is hij symmetrisch.

Voorbeeld met drie variabelen: x²+y²+z²+xy+xz+yz
Maak nu van elke x een y, van elke y een z en van elke z een x. Je krijgt dan: y²+z²+x²+yz+yx+zx
en dat is nog steeds f, dus f is invariant onder deze permutatie. Als dit nu opgaat voor elke permutatie, dan noemen we f symmetrisch.

Voorbeeld: x²+y²+z is niet symmetrisch want onder de permutatie (x y) blijft f invariant, maar onder (x z) bijvoorbeeld niet.

Dan zou die laatste vraag nu wel moeten lukken: iedere permutatie is te schrijven als samenstelling van involuties (of verwisselingen zoals je ze hier noemt), dus... ja.

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 16 november 2004

©2001-2024 WisFaq