Ontbinding in polynoomringen

Hoi wisfaq,

Ik wil graag de volgende polynomen ontbinden in Z[x] en Q[x] (Z de gehele getallen, Q de rationale getallen) waarbij ik gebruik maak van de volgende stellinge/lemma's:

A.Zij f=SOM[a_pX^i](i=0 tot n) in Z[x] een polynoom van graad n$>$=1 en q in Q een nulpunt van f. Schrijven we q=b/c, met b,c in Z copriem, dan geldt b|a₀ en c|a_n.
B.Zij p een priemgetal en f als boven in Z[x] een primitief polynoom waarvan de kopcoefficient niet deelbaar is door p.Dan geldt,
(fmodp) is irreducibel in (Z/pZ)[x] -$>$ f is irreducibel in Z[x].
C.Zij R een ontbindinsring en p in R een priemelement. Laat f zoals in A, f in R en f een primitief polynoom zijn dat voldoet aan
p deelt niet a_n, p|a_p voor i=0,1,...,n-1 en p² deelt niet a₀,
Dan is f irreducibel in R[x].

1. Zij f=(x⁴)-7(x²)+5x-3.
A levert niets op, want geen van de waarden (+/-)1,(+/-)3 is een nulpunt van f.B levert niets op want f is reducibel in (Z/3Z)[x].C levert ook niets op.En als ik f probeer te ontbinden door f te schrijven als (x²+a+b)·(x²+cx+d) krijg ik te veel onbekenden wat ook niets oplevert.Hoe kan ik nu f ontbinden?
Ik heb hetzelfde schema afgewerkt voor de volgende polynomen,
g=(x¹²⁰)-5(x⁶⁵)+3(x⁵⁵)-15
h=(x⁶)-(x²)+20x-100
k=(x⁴)-4(x³)+4(x²)-25,
maar ik heb geen resultaat gevonden.Hoe kan ik nu deze polynomen ontbinden (als ze reducibel zijn)?

Vriendelijke groeten,
Viky

viky
Student hbo - vrijdag 29 oktober 2004

Antwoord

Dat B niets oplevert is niet helemaal waar want je kunt natuurlijk een heleboel priemgetallen proberen. C wordt soms indirect gebruikt, soms kun je door X-1 of X+1 of iets anders in te vullen toch in geval C komen. Voor monische polynomen (met a_n=1) is irreducibiliteit over Z en Q hetzelfde.
In het algemeen is het onderzoeken van (ir)reducibiliteit hard werk; ik zie voor f geen andere optie dan (X^2+aX+b)(X^2+cX+d) te proberen. Het werk valt mee, je vindt bijvoorbeeld c=-a, ac+b+d=-5 en ad+bc=5. Hieruit haal je de volgende vergelijking voor a: a^3-7a-5=0 (en die heeft, met A, geen rationale oplossingen, dus ...).
NB Soms lukt het door goed kijken, g kun je ook schrijven als X^65(X^55-5)+3(X^55-5).

kphart
vrijdag 29 oktober 2004

Re: Ontbinding in polynoomringen

©2001-2024 WisFaq