\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Co÷rdinaten en kubus

 Dit is een reactie op vraag 29031 
Ik kreeg gisteren zelf het idee dat je eigenlijk zou moeten kunnen bewijzen dat als je twee punten van een vierkant weet de andere 2 ook vast liggen. En als die twee gegeven punten geheeltallig zijn, die andere twee dat ook zijn. Als ik dit voor elkaar zou kunnen krijgen dan kan je het voor de hele kubus bewijzen door alle zijvlakken af te gaan.
Ik heb het geprobeerd uit te werken, maar liep hopeloos vast. Mijn ruimtelijke voorstellingsvermogen is niet zo best.

jantin
Student universiteit - donderdag 28 oktober 2004

Antwoord

dag Jantine,

Het probleem is, dat dat niet algemeen waar is, zoals je waarschijnlijk zelf in je tegenvoorbeeld voor categorie 2 al gevonden zult hebben.
Maar ik heb inmiddels iets leuks gevonden!
Als de lengte van de ribbe van de kubus een geheel getal is, en van drie hoekpunten (niet in een zijvlak) zijn de co÷rdinaten integers, dan kun je met behulp van het uitproduct bewijzen dat de hoekpunten dan allemaal rationale co÷rdinaten hebben!
Bedenk hierbij, dat de lengte van het uitwendig product van vectoren die een parallellogram opspannen, gelijk is aan de oppervlakte van dat parallellogram.
En andersom: als de lengte van de ribbe niet rationaal is, en van drie hoekpunten (niet in een zijvlak) zijn de co÷rdinaten integers, dan weet je ook zeker dat niet alle andere hoekpunten rationale co÷rdinaten hebben.
Nu is het nog de kunst om hoekpunten te vinden van een mogelijke kubus in de ruimte, met drie 'integere' hoekpunten, waarbij de ribbe niet rationaal is.
Ik heb door wat proberen de volgende punten gevonden:
kubus OABC.DEFG
O(0,0,0)
A(1,2,1)
G(2,-2,2)
Deze punten voldoen aan de voorwaarden voor een kubus (loodrechte stand OA en OG, en de zijvlaksdiagonaal OG heeft de juiste lengte, namelijk Í2Ě|OA|)
Nu kun je van de overige hoekpunten de co÷rdinaten berekenen, en op F na zijn deze allemaal niet rationaal.
groet,


donderdag 28 oktober 2004

 Re: Re: Co÷rdinaten en kubus 

©2001-2021 WisFaq