Eenheden in polynoomringen

Hallo meneer/mevrouw,

Zij R=Z/4Z een ring (Z is de verz. gehele getallen). Ik wil graag bewijzen dat voor alle r in R[x] geldt dat 1+2r zit in de eenhedengroep van R[x]. En graag wilde ik ook weten of een eenheid van de vorm u=(+/-)1+2r is.
Kunt u mij misschien hiermee helpen?

Veel groeten en dank,

Vikje

vikje
Student hbo - woensdag 15 september 2004

Antwoord

Hallo Viky,

Elementen zijn veeltermen met coëfficiënten 0,1,2,3 en waarbij 4=0 wordt gesteld. Dat wetende is het snel aangetoond dat elke 1+2r een eenheid is, immers: reken eens uit hoeveel (1+2r)(1-2r) is...

Dus weten we nu dat elk element van de vorm 2r+1 een eenheid is. Geldt het ook omgekeerd? Stel dat er een element bestaat, niet van de vorm 2r+1, en toch een eenheid. Niet van de vorm 2r+1, dat betekent dat er een coëfficiënt van X of X² of hoger, ONEVEN is. OFWEL, dat de constante term EVEN is.

1. Eerste geval: er is een coëfficiënt (niet de constante term) oneven. Bekijk de hoogstegraadscoëfficiënt die oneven is. Bijvoorbeeld 2X⁴+3X³+2X²+3X+1, dan kijk je naar die 3X³. Nu, deze polynoom is een eenheid (onderstelling), dus bestaat er een polynoom die hiermee vermenigvuldigd, 1 geeft. Neem aan dat deze van graad n is. Nu moet ook die inverse een oneven coëfficiënt hebben: mochten alle coëffs even zijn, dan zou je nooit de coëfficiënt van Xⁿ⁺³ op 0 krijgen. En dan ben je eruit: neem van beide polynomen de hoogstegraadscoëfficiënt die oneven is, noem de graad resp. k en l, dan zal je nooit de coëfficiënt van X^k+l op nul krijgen.

2. Het tweede geval is eenvoudiger: de constante term van een product is het product van de constante termen. Dus als de constante term van een polynoom even is, zal het product nooit 1 kunnen worden.

NB: die ± hoeft er niet bij, want -1 = 3, en kijk eens naar volgende polynoom:

2X³+2X+3 = 2(X³+X+1)+1

Dus je kan elke polynoom waarvan alle coëffs even zijn behalve de constante term, schrijven als 2r+1.

Groeten,
Christophe.

Christophe
woensdag 15 september 2004

Re: Eenheden in polynoomringen

©2001-2024 WisFaq