\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Maximale oppervlakte vierhoek

Voor elke positieve waarde van a en b waarbij ab gaan de grafieken van f(x)=x3 en g(x)=x1/4door de punten (0,0) en (1,1). De grafieken van f en g verdelen het vierkant OABC in drie delen, namelijk I,II en III. Er wordt een verticale lijn getrokken bij x=p. Hierdoor ontstaat vierhoek OQBP. Bij welke p is deze vierhoek maximaal??

Felice
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 17 mei 2004

Antwoord

Ik neem aan dat:
  • Q op de grafiek van f ligt
  • P op de grafiek van g ligt
  • de oppervlakte van vierhoek OQBP maximaal moet zijn.
Zie onderstaand plaatje:
q24134img1.gif
De oppervlakte van deze vierhoek is:
opp(driehoek OQP)+opp(driehoek QBP)=
1/2.OS.QP+1/2.TB.PQ=
1/2p.PQ+1/2(1-p).PQ
1/2p.PQ+1/2PQ-1/2p.PQ
1/2PQ.
De oppervlakte van vierhoek OQBP is maximaal als PQ maximaal is.
PQ=g(p)-f(p)=p^(1/4)-p3.
We moeten dus het maximum van de functie h(p)=p^(1/4)-p3 bepalen.
Als het niet exact hoeft kun je dat met je grafische rekenmachine doen (als je die hebt).
Als het wel exact moet kun je h'(p)=0 oplossen.
Het exacte antwoord is p=(1/12)^(4/11).
Het benaderde antwoord is p=0.405108



maandag 17 mei 2004

©2001-2024 WisFaq