De constructie van raaklijnen bij twee cirkels
Hallo
Ik heb een vraag betreffende de constructie ivm met de uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen.
In onze cursus zien we 2 mogelijke oplossingen.
1) Je bepaalt de cirkel |r-s|, je hebt dan een raaklijn uit een punt aan een cirkel, door hem dan te verschuiven bekom je de oplossing.
2) Teken de centraal van de 2 cirkels. Teken een willekeurige middellijn (a) bij de ene cirkel (C1). Teken in de 2de cirkel (C2) ook een middellijn (b) MAAR die moet evenwijdig zijn met de eerste middellijn. a heeft met C1 2 snijpunten, noem de bovenste A. Zo heeft ook b 2 snijpunten met C2, noem de bovenste B.
Verbind A met B= rechte AB. Welnu deze rechte AB snijdt de centraal in een punt X.
Nu kunnen we heel eenvoudig de raaklijn contrueren uit X aan C2, die ook zal raken aan C1. = we bekomen een eerste uitwendige raaklijn.
Analoog voor de tweede.
Welnu, mijn vraag is hoe je dit bewijst dat er op de centraal inderdaad een vast punt bestaat waardoor alle rechten gaan, die overeenkomstige punten van de 2 cirkels verbinden.
Nog een vraagje: kan je voor de inwendige raaklijnen ook een tweede oplossing bekomen om deze te construeren? natuurlijk anders (buiten de traditionele oplossing: r+s)?
Bedankt voor de hulp!
Sofie
Sofie
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 1 mei 2004
Antwoord
Hoi Sofie
die alternatieve constructie is gewoon een homothetie van het vlak met centrum X en factor (grootste straal/kleinste straal). In Nederland spreekt met over vermenigvuldigen van figuren, lijnstukken en punten tov X.
A is het homothetisch beeld van B en
M1 (middelpt grootste ck) is het homothetisch beeld van M2 (omdat je X op de centraal neemt en [AM1] // [BM2].
De (kleine) Stelling van Thales vertelt je dat de factor dus = r1/r2.
Construeer dan de raaklijn uit X aan C(M2;r2). Op een tekening liefst aan de andere kant dan waar punt B ligt, om het goed te zien. Noem het raakpunt D.
Het homothetisch beeld van D noem je E.
Dan moet E op een evenwijdige liggen aan [M2D] en door M1. Bovendien moet de afstand tussen M1 en E gelijk zijn aan r1; omdat de afstand van M2 tot D = r2 en de vermenigvuldigingsfactor = r1/r2.
Conclusie: E $\in$ C1(M1;r1).
Bovendien: M1E $\bot$ XD; omdat M2D $\bot$ XD en M1E // M2D.
Algemene conclusie: XD raakt ook aan C1(M1;r1). (gemeenschappelijke uitwendige raaklijn)
Tot slot: voor de gemeenschappelijke inwendige raaklijnen verbind je het punt A met B' (het andere uiteinde van bewuste middellijn). Je krijgt een ander snijpunt met de centraal. De vermenigvuldiging of homothetie heeft dit punt als centrum en de factor is opnieuw de verhouding van de stralen maar nu met een negatief teken.
Opm: je moet je oorspronkelijke evenwijdige middellijnen wel met passer en liniaal construeren hé. Hierboven staat het strikte bewijs, aan jou om een strikte constructie te maken.
Frank
dinsdag 4 mei 2004
©2001-2024 WisFaq
|