Impliciet afleiden
Beste,
DE opgave in mijn boek luidt als volgt:
Bereken dy/dx en d2y/dx2 als een y een impliciete functie is, bepaald door :(a,b elemant van R)
Den docent zei iets van y in functie van x stellen ofzo.
Bij deze 2 oef heb ik last nl,
x2-xy-3y2=5 en Ln(x2+y2)=arctg(y/x)
Kunnen jullie even helpen aub
Met vriendelijke groeten
kris
kris
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 30 april 2004
Antwoord
Als y expliciet gedefinieerd is, dan is er geen probleem;
je ziet dat y=y(x).
Als y impliciet gedefinieerd is, dan nog moet je y zien als functie van x.
Neem nu je eerste voorbeeld:
x2-xy-3y2=5.
Dit kunnen we ook schrijven als x2-x*y(x)-3*y(x)2=5.
We gaan nu linker en rechterlid volledig afleiden afleiden naar x.
2x-y(x)-x*dy/dx-6*y*dy/dx = 0
Hieruit haal je eenvoudig dy/dx nl: dy/dx = (2x-y)/(x+6y)
De tweede afgeleide wordt dan: (afgeleide van een breuk)
d2y/dx2=[(x+6y)*(2-dy/dx)-(2x-y)*(1+6*dy/dx))]/(x+6y)2
=[(2x+12y-2x+y)-(x+6y+12x-6y)dy/dx]/(x+6y)2
=[13y-13xdy/dx]/(x+6y)2
= 13(y-xdy/dx)/(x+6y)2
In deze uitdrukking kunnen we de eerste afgeleide substitueren. Met:
y-xdy/dx = [y*(x+6y)-x(2x-y)]/(x+6y)
= (xy+6y2-2x2+xy)/(x+6y)
= 2(xy+3y2-x2)/(x+6y)
Dus d2y/dx2= 26((xy+3y2-x2)/(x+6y)3
Lukt je tweede voorbeeld nu ook?
Mvg,
Els
vrijdag 30 april 2004
©2001-2024 WisFaq
|