Toepassing dimensiestelling

Ik moet de dimensiestelling ( Zij L:V®W een lineaire afbeelding, dan is dim(Ker L)+ dim(Im L)= dim V ) kunnen toepassen op concrete functies, zoals de volgende:

L:²®:(x,y)®x+y

Mijn redenering is als volgt:

Ker L= {(x,-x) met xÎ}
Voor elke (x, -x) Î Ker L geldt: (x, -x)= x(1,-1). Bijgevolg is {(1,-1)} een basis van Ker L. Dus dim (Ker L)=1

Im L= {(x,y) met x,y Î}. Voor elke (x,y)ÎIm L geldt: (x,y)= x(1,0)+ y(0,1); dus {(1,0),(0,1)} is een basis van Im L. Dus dim(Im L)=2

Maar 2+1=3 en dim ²=2.
Waar zit mijn fout?

Alvast bedankt,

Evelyn

Evelyn
Student universiteit België - woensdag 7 april 2004

Antwoord

Hallo Evelyn,

Als L:V®W dan is het beeld ImL een deel van W.
Hier geldt dus: ImLÍ

maw: ImL is niet een verzameling van koppels (x,y) zoals je zegt, maar wel een verzameling van reële getallen x+y. En inderdaad, elk element r van is het beeld van bijvoorbeeld (r,0), of (0,r) of (r/2,r/2) of...

Dus ImL=, zodat dus dim(ImL)=1.

En 1+1=2 klopt dus wel.

Onthoud dus goed dat de kern een deel van V is, en het beeld een deel van W.

Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 8 april 2004

©2001-2024 WisFaq