Newton-Raphson n = infinite - 1

Hoi,

Ik had eigenlijk twee vragen over twee dingen die ik zelf gevonden heb.

Het eerste zijn de voorwaarden:
-De iteratieformule werkt alleen als je een waarde x₀ pakt die kleiner is dan het exacte nulpunt, wanneer het stuk grafiek waarop het nulpunt ligt dalend is.
-De iteratieformule werkt alleen als je een waarde x₀ pakt die groter is dan het exacte nulpunt, wanneer het stuk grafiek waarop het nulpunt ligt stijgend is.

Dit moet wel, vanwege de convergerende werking.

Het tweede:
Ik vond een leuk idee, maar durf alleen niet zomaar aan te nemen dat het klopt. Als ik de iteratieformule invul voor n=∞-1, krijg ik:

x_(∞) = x_(∞-1) - [f(x_(∞-1))/f'(x_(∞-1))]

Dit is geen benadering meer toch? Als ik het goed heb, is dit de exacte oplossing voor dat nulpunt van f dat je zoekt.

Neem bijv. f(x) = x² - 5
0 = x² - 5
x² = 5
x = ±√5

Als je x₀ $<$ -√5 neemt, krijg je met n = ∞-1 de exacte oplossing:
x_(∞) = -√5
Als je x₀ $>$ √5 neemt, krijg je met n=∞-1 de exacte oplossing:
x_(∞) = √5
Je hebt dan in principe toch een andere schrijfwijze voor de irrationale getallen -√5 en √5?

Duidelijker omschreven:
-√5 = x_(∞-1) - [((x_(∞))²-5)/(2·x_(∞))

Ik hoop dat het duidelijk is,
Bij voorbaat dank.

Bart K
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 24 februari 2004

Antwoord

Dag Bart,
Eerst je eerste opmerking: die is niet juist.
Het convergeren van de methode heeft niets te maken met het stijgen of dalen van de functie. Dat kun je makkelijk nagaan met een willekeurige functie.
Dan je tweede vondst: dat heb je leuk bedacht.
Het is alleen jammer, dat 'oneindig min 1' hetzelfde is als oneindig.
Dat betekent dus, dat er eigenlijk niks nieuws staat:
x($\infty$) = x($\infty$) - f(x($\infty$))/f'(x($\infty$))
ofwel
0 = 0 - f(x($\infty$))/f'(x($\infty$))
dus f(x($\infty$)) = 0, dus inderdaad is x($\infty$) een nulpunt van f. Maar ja, dat wist je dus al.
Laat je niet ontmoedigen, blijf vooral creatief en houd ons van je vondsten op de hoogte!
groet,

donderdag 26 februari 2004

©2001-2024 WisFaq