Diagonaliseerbaarheid met parameter

Hallo,
ik heb een oefening mbt de diagonaliseerbaarheid waar ik maar niet wijs uit geraak.

De vraag is als volgt:

Beschouw de reële matrix A = (een 3*3 matrix)
3 -2 l
3 -4 -3
0 0 2

Gevraagd=
a) voor welke waarden van l is A diagonaliseerbaar over R
b) Bereken voor elke mogelijke waarde van l uit (a) een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D waarvor P^-1 * A * P = D

Ik ben dus begonnen met het oplossen van a (vanzelfsprekend), maar ik kom dus volgende eigenwaarden uit: 2 en -3 . Deze eigenwaarden zijn, volgens mij, steeds, onafhankelijk van de waarde van l, dezelfde.
Als eigenruimten kom ik dan ook uit: (2,1,0) voor ew 2 en (1,3,0) voor ew -3.
vermits ik dan maar 2 eigenruimten uit kom, is de matrix toch niet diagonaliseerbaar? Of ben ik mis?

Alvast bedankt

Pieter
Student universiteit België - zondag 11 januari 2004

Antwoord

De eigenwaarden zijn in dit geval inderdaad onafhankelijk van de waarde I, echter, dat wil niet automatisch zeggen dat je eigenruimte dan altijd opgespannen wordt door twee vectoren!
Neem maar eens. I=-1: Dan zijn (1,3,0) {t=-3}, (1,0,1) en (0,1,-2) {t=2} in ieder geval eigenvectoren. Bingo!
Kijk met I=-1 eens naar de karakteristieke matrix tI-A, dan krijg je wel een indruk hoe dat kan komen. Wellicht kun je dan ook met I in plaats van -1 de berekening verder uitvoeren.
Vervolgens kun je nu ook weer verder met het tweede onderdeel, zou dat lukken ? Ik denk het wel

Met vriendelijke groet

JaDeX

zondag 11 januari 2004

Re: Diagonaliseerbaarheid met parameter

©2001-2024 WisFaq