Centrum steeds normaaldeler?

Is G een groep en Z(G) het centrum van die groep (= de elementen van G die commutatief zijn met alle elementen van G)
Is dan Z(G) steeds een normaaldeler van G? Dat vraag ik me af...

Ik dacht aan het volgende:
N is een normaaldeler van G als voor alle gÎG geldt dat N^g=N

Dus Z(G)^g= g^-1Z(G)g
wegens definitie van Z(G)

=g^-1gZ(G)
=eZ(G)
=Z(G)

Dus als ik geen dingen gedaan heb die ik niet mag doen, is Z(G) steeds een normaaldeler.

Klopt het wat ik schrijf? Of is het onzin?

Koen

Koen
Student universiteit België - maandag 5 januari 2004

Antwoord

Als G een groep is, dan is Z(G) een karakteristieke deelgroep van G.
i.e. voor alle qÎAut G geldt dat g^qÎZ(G).

En elke karakteristieke deelgroep is een normaaldeler omdat een normaaldeler door elk inwendig automorfisme afgebeeld wordt op zichzelf.

Dus het centrum van een groep is meer dan een normaaldeler en je schreef absoluut geen onzin.

Mvg,

Els
maandag 5 januari 2004

©2001-2024 WisFaq