\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Bewijzen bij stelsels

Hallo,

Als A en B elementen zijn van Rnxn en A is regulier dan is (A+B)*A-1*(A-b)=(A-B)*A-1*(A+B).

De nxn matrix A is niet singulier en A3=A2. Bewijs dat A=In.

Is A3=In, dan is A een inverteerbare matrix. Bepaal de inverse en geef een veralgeming.

Is A inverteerbaar, dan is de getransponeerde matrix At ook inverteerbaar en (At)-1= (A-1)t.

a.
3de graad ASO - woensdag 3 december 2003

Antwoord

Hoi,

Met een paar tips kom je er:

1. (A+B).A-1.(A-B)=(A-B).A-1.(A+B)
Werk linker- en rechtlid uit mbv de distributiviteits- en associativiteitsregels. Je weet dat A.A-1=A-1.A=I. Links en rechts vereenvoudigen beide tot A-B.A-1.B en zijn daarom gelijk.

2. A3=A2, dus moet A2.(A-I)=0. Omdat A regulier is, bestaat A-1. Je rekent zelf na wat A-1.A-1.A2.(A-I)=0 je leert...

3. An=I dus moet det(An)=detn(A)=det(I)=1, zodat det(A)¹0. De inverse zelf zie je zo: An=An-1.A=A.An-1=I, dus moet A-1=An-1.

4. Een matrix Y is de inverse van X als X.Y=Y.X=I. Ga na dat deze twee vergelijkingen gelden voor X=At en Y=(A-1)t. Hieruit besluit je dan dat Y=X-1 of dat (A-1)t=(At)-1. Extra tip: (X.Y)t=Yt.Xt.

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 3 december 2003

©2001-2024 WisFaq