Maandelijkse rente afleiden uit jaarlijkse rente

Ik had al eerder een vraag gestuurd maar schijnbaar was deze niet duidelijk genoeg.
Ik bedoelde dus: Als ik weet dat de rente (samengestelde rente!!!) 15% per jaar is, hoe kan ik dan uitrekenen wat de rente in % per maand is.
Ik weet zeker dat dit niet gewoon door 12 delen is.

BVD

wendy
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 14 oktober 2003

Antwoord

Hoi,

Je kan best eens zien op Rekenen met procenten en groeifactoren of Maandelijkse intrestvoet?.

We hebben een beginkapitaal K:₀, een maandelijkse rente m en een jaarlijkse rente i. De vraag is wat het verband is tussen m en i. De rente na n maanden noteren we: K_n

Bijvoorbeeld:
K₀=1000€, i=0.05=5%, m=?

In het begin, na 0 maanden heb je je beginkapitaal K₀.
Na 1 maand heb je 1 maand rente verdiend: K₁=K₀+m.K₀=K₀.(1+m)
Een maand verder heb je weer 1 maand rente verdiend: K₂=K₁+m.K₁=K₁.(1+m)=K₀.(1+m)²
Nog een maand verder heb je weer 1 maand rente verdiend: K₃=K₂+m.K₂=K₂.(1+m)=K₀.(1+m)³
Zo kan je verder rekenen en afleiden dat je na n maanden een bedrag K_n=K₀.(1+m)ⁿ gespaard hebt.

In het bijzonder zal je na een jaar K₁₂=K₀.(1+m)¹² (1) gespaard hebben.

Op dezelfde manier kan je redeneren dat je na 1 jaar een rente van i.K₀ verdiend hebt en dat je kapitaal dus i.K₀+K₀=K₀.(1+i) (2) is.

We hebben dus 2 uitdrukkingen om het kapitaal na 1 jaar te berekenen. Eén keer (2) als het resultaat na 1 jaarlijkse rente-toevoeging en een andere keer (1) als het resultaat van 12 samengestelde maandelijkse intresten. Dus:
K₀.(1+i)=K₀.(1+m)¹², zodat:
1+i=(1+m)¹² en dus:
m=(1+i)^1/12-1 (12-de machtswortel)

Voor kleine i kan je (1+i)^1/12 goed benaderen door 1+i/12, zodat m=i/12 een goede benadering is voor m. Je kan andere benaderingen vinden mbv de MacLaurin-reeksontwikkeling voor (1+x)^r, maar dit zou ons te ver leiden.

Voor ons voorbeeldje krijgen we exact m=0.00407=0.407% en benaderd m=0.00417=0.417%. Voor 15% zoals in je vraag zal het verschil groter zijn en zal de benadering dus inderdaad niet bruikbaar zijn. Je hebt gelijk: in het algemeen is de maandelijkse intrest niet gewoon 1/12 van de jaarlijkse.

Groetjes,
Johan

andros
dinsdag 14 oktober 2003

©2001-2024 WisFaq