Spectraalstelling, symmetrisch geval

Hier een stelling waarbij het bewijs strop loopt...
(we hebben het hermitisch en unitair geval bewezen in de les en het symmetrisch geval is "analoog". )

Is g: E_n®E_n een symmetrische afbeelding, dan bestaat er een orthogonale basis van eigenvectoren van g.

Bewijs: g heeft zeker 1 eigenwaarde, noem l₁ met bijhorende eigenvector v₁. Noem de vectorrechte v₁=E₁, als v₁¹0, dan is E_n=E₁ orth som met E₁^{^}
Nu moet ik nog bewijzen dat g de ruimte E₁^{^} invariant laat. Hoe moet dat?

(PS het teken voor orthogonale som stond niet in de lijst. Het is dit ^ teken maar met een rondje errond (zoals Å en Ä )

(PS2 dit is geen vraag voor rookies )

Koen Mahieu

Koen M
Student universiteit België - woensdag 13 augustus 2003

Antwoord

Beste Koen,
je hoeft alleen nog te bewijzen:
als x loodrecht op v₁ staat dan staat
g(x) ook loodrecht op v₁.
Hier gebruik je (net als in het Hermitische geval) dat het inwendig product van v₁ en g(x) gelijk is aan dat van g(v₁) en x (dat is wat symmetrisch betekent).

Wel nu v₁·g(x) = g(v₁)·x = l₁v₁·x=0

kphart
vrijdag 15 augustus 2003

©2001-2024 WisFaq