Moeilijke theorievraag

Op mijn examen statistiek en waarschijnlijkheidsleer kreeg ik de volgende vraag

Gegeven is de discrete kansverdeling px(x), en een strikt monotoon stijgende functie g zodat geldt Y= g(X)
Gevraagd: wat is de kansverdelingsfunctie van Y? Teken g(x) Px(x) en Py(y).

Ik weet wel hoe je dit probleem moet oplossen als er een continue kansverdelingsfunctie is gegeven,maar hoe moet ik dit probleem oplossen?

adinda
Student universiteit België - dinsdag 1 juli 2003

Antwoord

Het discrete geval is beduidend simpeler. px(x) geeft hier namelijk kansen weer en geen kansdichtheden zoals in het continue geval. Het volledige verloop van g is dan ook niet even zeer van belang. De functie g zorgt gewoon voor een transformatie (verplaatsing) van de kansen naar andere waarden.

Aangezien g stijgend is, zijn er geen twee waarden van X die leiden tot eenzelfde waarde van Y, de kansen worden dus gewoon verplaatst en nergens samengesteld. Verder zorgt het strikt stijgend zijn er ook voor dat de kansen "in volgorde" zullen blijven.

Voorbeeld 1

X = 1 met kans 1/6
X = 2 met kans 1/3
X = 3 met kans 1/2

Y=g(X)=X³+1

Y = 1³+1 = 2 met kans 1/6
Y = 2³+1 = 9 met kans 1/3
Y = 3³+1 = 28 met kans 1/2

Voorbeeld 2

(ter illustratie: Y niet overal strikt stijgend)

X = -1 met kans 1/6
X = 0 met kans 1/3
X = 1 met kans 1/2

Y=g(X)=X²+1

Y = (-1)²+1 = 2 met kans 1/6
Y = 0²+1 = 1 met kans 1/3
Y = 1²+1 = 2 met kans 1/2

Doordat Y niet strikt stijgend is, kan het gebeuren dat twee dezelfde X waarden aanleiding geven tot dezelfde Y-waarde. De volledige oplossing is dus

Y = 1 met kans 1/3
Y = 2 met kans 1/2+1/6 = 2/3

en dat is dus niet zomaar een verplaatsing van de probabiliteitswaarden zoals hierboven.

Nog even vermelden dat een discrete distributie natuurlijk niet enkel over gehele getallen moet gedefinieerd zijn. Elke aftelbaar oneindige verzameling reele getallen voldoet als drager van een discrete distributie.

dinsdag 1 juli 2003

©2001-2024 WisFaq