Integralen oplossen met partieelbreuken

Volgende integraal moet opgelost worden:
ò(2x²+5x-1)/(x³+x²-2x)

De noemer (of is het de teller) kan je ontbinden in x(x-1)(x+2). Je krijgt dan (2x²+5x-1)/(x³+x²-2x)=(2x²+5x-1)/[x(x-1)(x+2)]=A₁/x + A₂/(x-1) + A₃/(x+2).

Maar hoe bepaal je nu juist die verschillende A's, want daar snap ik echt niets van. Een duidelijke, stap voor stap uitleg zou mij enorm kunnen helpen.
Alvast bedankt!

Roel D
Student universiteit België - donderdag 19 juni 2003

Antwoord

laat ik je A's even anders noemen, dat typt voor mij wat makkelijker:

A/x + B/(x-1) + C/(x+2) allemaal bij elkaar opgeteld moet weer (2x²+5x-1)/{x(x-1)(x+2)} opleveren.
Laten we die optelling dus eens uitvoeren:

A(x-1)(x+2)/{x(x-1)(x+2)} + Bx(x+2)/{x(x-1)(x+2)} + Cx(x-1)/{x(x-1)(x+2)}
= {A(x-1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-1)}/{x(x-1)(x+2)}
= {A(x²+x-2) + B(x²+2x) + C(x²-x)}/{x(x-1)(x+2)}
= {(A+B+C)x² + (A+2B-C)x -2A}/{x(x-1)(x+2)}

componentsgewijs de teller van het bovenstaande vergelijken met de teller van (2x²+5x-1)/{x(x-1)(x+2)} levert 3 vgl:

A+B+C=2
A+2B-C=5
-2A=-1

hieruit kun je A,B en C destilleren.
zou je 't vanaf hier weer alleen kunnen?

groeten,
martijn

mg
donderdag 19 juni 2003

©2001-2024 WisFaq