\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Een formule voor alle mogelijkheden

Ik heb de volgende opgave :
a3+ b4 = c5
met a3= b4

Je moet a, b en c vinden..
Ik heb één oplossing : a=28; b = 26; c = 25
Ik zou graag een bepaalde formule of bewijs hebben voor alle mogelijkheden..
Met vriendelijke groeten,

Jon
3de graad ASO - woensdag 7 mei 2003

Antwoord

We veronderstellen voor het gemak dat a,b en c positief zijn. Negatieve getallen gaan geen extra problemen brengen, denk ik.

Als a3=b4 dan komt er dat 2a3 = c5. Ontbind nu a en c in priemfactoren

a = p1x1 ... pnxn
c = p1y1 ... pnyn

Dan is

2 p13x1 ... pn3xn = p15y1 ... pn5yn

2 moet duidelijk een van de priemfactoren zijn anders zou het linkse lid even zijn en het rechtse niet. Stel dus p1=2.

23x1+1 ... pn3xn = 25y1 ... pn5yn

We zoeken dus getallen xj en yj waarvoor

3x1 + 1 = 5y1
3xj = 5yj, j > 1

Modulorekening leert ons dan dat er getallen zj bestaan zodat

x1 = 5z1 + 3
xj = 5zj, j > 1

a is dus van de vorm 8m5, c is van de vorm 4m3, waarin m een willekeurig natuurlijk getal voorstelt.

Nu komt nog de vereiste dat er een natuurlijk getal b moet bestaan waarvoor b4=a3. Met andere woorden, 29m15 moet een vierdemacht zijn. Dan moet m zeker even zijn (m=2tr, r oneven), want 9 is geen veelvoud van 4.

a3 = 29+15tr15

r moet dan een vierdemacht zijn (van een oneven getal 2s+1, want r is zelf oneven) en t moet bij deling door 4 rest 1 geven, dus van de vorm 4v+1 zijn, om van 9+15t een viervoud te maken.

a3 = 29+15(4v+1).((2s+1)4)15
a3 = 260v+24.(2s+1)60

Conclusie:

a = 28+20v.(2s+1)20
b = 26+15v.(2s+1)15
c = 25+12v.(2s+1)12

met

s,v>=0

Enkele oplossingen:

s=0 v=0
a=256
b=64
c=32

s=0 v=1
a=268435456
b=2097152
c=131072

s=1 v=0
a=892616806656
b=918330048
c=17006112


zaterdag 10 mei 2003

©2001-2024 WisFaq