\require{AMSmath}

Parabolen altijd symmetrisch

Hoe kan je bewijzen dat de formule ax²+bx+c altijd een symmetrische figuur geeft (een parabool)?

Caroli
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 14 april 2003

Antwoord

f(x)= ax² + bx + c

Van een 2e-graads functie weet je (stiekum) al dat het een parabool is. (althans: als a niet nul is!) En een parabool heeft altijd een top.
Nu gaat het erom te bewijzen dat een x-waarde die zich links van de top bevindt een evengrote y-waarde oplevert als een x-waarde die zich evenver rechts van de top bevindt.
in formule:
We moeten bewijzen dat
f(x_top-q)=f(x_top+q)

Wat is de waarde van x_top?
* standaard: x= -b/2a
* als je dit nog niet weet cq 'mag' veronderstellen, ga je even op zoek naar de top door te stellen dat de afgeleide in de top gelijk aan nul is: 2ax+b = 0.
hieruit volgt direct dat in de top: x=-b/2a

reken nu eerst uit
f(-b/2a - q)
(ofwel vul in de functie in voor x: {-b/2a - q}
en reken dan uit
f(-b/2a + q)
Deze twee moeten dezelfde functiewaarde opleveren. Daarmee heb je het gevraagde bewezen.

groeten,
martijn.

mg
maandag 14 april 2003

©2001-2024 WisFaq