\require{AMSmath}

Convergentie integraal

Zij C $>$ 0 en x,y,z in Rⁿ met x $\ne $ y en x $\ne $ z. Stel |y-z|$ \le $ C, ik vroeg me af of de integraal $\smallint $ |x-y|^(-n-1)dx convergeert waarbij we integreren over |x-z|$ \ge $ 2C? Heb geprobeerd om polaire coördinaten te gebruiken maar zit wat vast. Kunt me op de juiste weg zetten? Alvast bedankt.

Rafik
Student universiteit België - woensdag 11 december 2024

Antwoord

Poolcoördinaten (en in het algemeen $n$-dimensionale bolcoördinaten) werken hier het best.
Je kun aannenem dat $y=0$ door $u=x-y$ te substitueren. Dan is $\|x-y\|$ dus gewoon $\|x\|=r$, en ben je slechts $r^{-n-1}$ aan het integreren (na overgang op die nieuwe coördinaten. Het belangrijkste deel van de substitutieformule is $r^{n-1}\,\mathrm{d}r$ (de rest bestaat uit machten van sinussen die over $[0,\pi]$ moeten worden geïntegreerd).
Uiteindelijk kom je uit op op de gewone integraal van $r^{-2}$ over een gebied dat buiten de sfeer om $0$ met straal $C$ ligt je integraal kun je overschatten met een constante maal twee keer de integraal $\int_C^\infty r^{-2}\,\mathrm{d}r$.

Tip: werk dit eerst eens uit als $n=1$ en $n=2$, dan zie je vrij duidelijk wat er aan de hand is.

kphart
donderdag 12 december 2024

Re: Convergentie integraal

©2001-2025 WisFaq