Zij X een vectorveld op Rm zodat voor elke p in Rm de maximale integraalcurve is gedefinieerd op heel R. Dus voor elke p bestaat er een curve g:R- $>$ Rm zodat g(0)=p en g’(t)=X(g(t)) voor alle t in R. Zij f:Sm\{N}- $>$ Rm de stereografische projectie met N de noordpool. Als Y een vectorveld is op Sm zodat de restrictie van Y op Sm\{N} is gegeven door (f-1) ∗(X). Wat kan men zeggen over de waarde van het vectorveld Y in de noordpool?
Mijn poging: Mijn vermoeden is dat het vectorveld Y in de noordpool nul is. Ik dacht om dit te beargumenteren door de jacobiaan van f-1 te berekenen laten we dit d(f1)_u noemen met u in Rm. Aangezien X=g’(t)=(g1’(t),g2’(t),…,g_m’(t)) dacht ik om de matrix d(f1)_u te vermenigvuldigen met g’(t) en dan de limiet te nemen van u naar oneindig om te zien dat we inderdaad (0,0,..0) krijgen. Ben niet zo zeker van mijn argument, kan dit kloppen?
Rafik
Student universiteit België - zaterdag 4 november 2023
Antwoord
Je aanpak zou kunnen kloppen maar ik zie geen makkelijke afmaker: op één of andere manier moet je het product van de matrix en de vector afschatten om te zien dat je langs elke integraalkromme naar de nulvector convergeert.
Het kan ook uit het ongerijmde: stel $Y(N)$ is niet de nulvector. Dan is en een oploskromme $h:I\to S^m$ die voldoet aan $h(0)=N$, en $I$ is een interval om $0$, zeg $I=(a,b)$ met $a < 0 < b$. Het punt $q=h(-\frac a2)$ ligt op de oploskromme en $p=f(q)$ ligt in $\mathbb{R}^m$. Maar dan geeft $g(t)=f(h(t-\frac a2))$ een oploskromme van $X$ met de eigenschap dat $g(0)=p$. Wegens uniciteit van oplossingen moet die $g$ tot heel $\mathbb{R}$ voort te zetten zijn, maar $g(\frac a2)$ zou dan gelijk moeten zijn aan $f(N)$ en die bestaat niet.
Re: Differentiaalmeetkunde: vectorvelden 