Ik heb een opdracht waarbij ik moet bewijzen dat A*B, met B=]0;+ $\infty $ [ en A $\subseteq $ R een open verzameling, open is. Het liefst Bewijzen adhv van de bol (B_r(x)={y $\in $ R|d(x,y) $<$ r}) of mss zou je kunnen gebruik maken van het feit dat de unie van open verzamelingen ook open is. Ik moet het ook bewijzen zonder te weten welke metriek het is, dus ik moet het heel algemeen doen & mag bijvoorbeeld niet gwn d(x,y)=abs(x-y) doen ( & ik mag ook niet gebruiken dat er een norm bestaat voor deze afstandsfunctie). Er is nog een klein deelvraagje bij, waarbij je een B $\subseteq $ R moet geven waarvoor A*B gesloten is. Ik pak dan B={0} & A=R, dan is A*B={0} & moet dus bewijzen dat R\{0} open is. Ik dacht: R\{0}=]- $\infty $ ;0[ U ]0;+ $\infty $ [ & aangezien dat dit de unie van open verzamelingen is, is R\{0} ook open, maar hoe bewijs ik dat deze 2 verzamelingen effectief open zijn (bvb adhv de bol)?
Alvast super bedankt!
Ik weet dat dit een lange vraag is, maar moest u zin hebben om ook nog te bewijzen dat A+{y} open is als a open is & y $\in $ R^n & A $\subseteq $ R^n, dan mag dat altijd
Kasper
Student universiteit België - dinsdag 28 februari 2023
Antwoord
Ik neem aan dat $*$ voor vermenigvuldiging staat. Je kunt de vraag op verschillende manieren aanpakken, maar allereerst moet je $A*B$ even anders opschrijven: $$A*B=\{a*b:a\in A, b\in B\}=\bigcup_{b\in B}\{a*b:a\in A\} $$Als je voorwerk hebt gedaan weet je al dat $A*b$ open is voor alle $b\in B$, want de afbeeldingen $x\mapsto x*b$ en $x\mapsto x/b$ zijn continu. Dus $A*B$ is de vereniging van open verzamelingen, dus zelf open.
Als je dat voorwerk (nog) niet gedaan hebt kun je bewijzen dat $A*b$ open is, voor elke $b$. Neem een punt, $x$, daarin, dan is er een $a\in A$ met $x=a*b$. Omdat $A$ open is geldt $B(a,r)\subseteq A$ voor een $r $>$ 0$, maar dan volgt, na vermenigvuldiging met $b$, dat $B(x,r*b)\subseteq A*b$.
Voor je laatste vraag: als $a\neq 0$ neem dan $r=|a|$, dan geldt $0\notin B(a,r)$ en dat is genoeg om te bewijzen dat $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ open is.
