\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 97253

Re: De verwachting van de steekproevenverdeling

Bestaat er een formule voor de verwachting in afhankelijkheid van de grootte van de steekproef?

Ad van
Docent - maandag 19 september 2022

Antwoord

Die formule is er wel maar je kunt er weinig mee en ik vermoed dat hij in het algemeen niet tot een makkelijke gesloten formule leidt.
Neem de formule voor de coëfficiënt zoals hier:
$$r_{xy}=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{\sqrt{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}\,\sqrt{n\sum y_i^2-(\sum y_i)^2}}
$$Dit is een functie van $n$ variabelen: de paren $(x_1,y_1)$ tot en met $(x_n,y_n)$. Het is dus een functie op de $n$-de macht van de kansruimte $(X,\Sigma,P)$ waar we in geïnteresseerd zijn. De verwachting is daarmee de integraal van de functie $r_{xy}$ over die $n$-de macht ten opzichte van de productkansmaat:
$$\int_{X^n} r_{xy}\,\mathrm{d}P^n
$$Als de kansverdeling discreet is staat hier eigenlijk een som, bij een continue verdeling een `echte' integraal. Zelfs als de kansverdeling uniform is zie ik hier geen mooie gesloten uitdrukking ontstaan.

Dat de verwachting van de schatters van de verwachting en variantie zo mooi uitkomen is eerder een uitzondering dan regel en hangt van de lineariteit van de verwachting af.

kphart
woensdag 21 september 2022

©2001-2024 WisFaq