Gevraagd is te bewijzen dat een groep van orde 30 steeds een normaaldeler van orde 5 heeft. Ik heb al dat er ofwel 1 ofwel 6 Sylow 5-deelgroepen zijn. Als het er 1 is, dan is die unieke Sylow 5-deelgroep een normaaldeler van orde 5 en is het bewezen. Als het er 6 zijn, weet ik niet hoe ik het moet bewijzen.
Alvast bedankt!
Laure
Student universiteit België - zondag 14 november 2021
Antwoord
Hallo Laure,
Noem de groep G. Je hebt gezien dat het aantal Sylow 5-deelgroepen 1 of 6 is. Is het 1 dan ben je klaar, dus we bekijken het geval dat er 6 zijn. De bedoeling is aan te tonen dat dit niet gaat.
Op dezelfde wijze als bij orde 5 is het aantal Sylow 3-deelgroepen 1 of 10.
In elke Sylow 5-deelgroep zitten 4 elementen van orde 5. Aangezien het aantal Sylow 5-deelgroepen 6 is, dan betekent dat dat er 4*6=24 elementen van orde 5 zitten in G.
Als nu ook het aantal Sylow 3-deelgroepen 10 is, kun je eenvoudig bepalen hoeveel elementen er zijn van orde 3 in G. Samen met de 24 van orde 5 worden dat er teveel (details laat ik aan jouzelf).
Blijft het geval dat het aantal Sylow 3-deelgroepen 1 is, dus die deelgroep P is een normaaldeler. Neem ook een Sylow 5-deelgroep Q. Dan weten we dat PQ een deelgroep is van G en dat PQ orde 15 heeft. In PQ is snel in te zien dat er maar één Sylow 5-deelgroep is, dus in PQ bevinden zich slechts 4 elementen van orde 5. Kun jij nu zien waar de tegenspraak ontstaat?
Conclusie: als het aantal Sylow 5-deelgroepen 6 is, dan komen we op een tegenspraak. Het aantal is dus 1 en daarmee is het een normaaldeler.
