\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 92645

Re: Re: Re: Wortel 2 is irrationaal

Ik begrijp de techniek achter een bewijs uit het ongerijmde. Het enige dat ik niet begrijp is waarom je begint met √2 = p/q met p en q ONDERLING ONDEELBAAR.

Waarom is het zo belangrijk dat p en q onderling ondeelbaar zijn?

Er wordt bij die beginstap blijkbaar vanuit gegaan dat een getal enkel rationaal is als de teller en noemer onderling ondeelbaar zijn. Maar 8/4 is toch ook rationaal bijvoorbeeld? Heeft dit te maken met de afspraak dat je een breuk steeds zo eenvoudig mogelijk moet noteren? Kan u dat stuk nog eens uitleggen?

Johan
2de graad ASO - zondag 5 september 2021

Antwoord

Elk rationaal getal is op vele manieren als een breuk te schrijven: je eigen breuken $4/8$ en $8/4$ geven getallen weer die ook door de breuken $3/6$ en $12/6$, of door $1/2$ en $2/1$ weergegeven kunnen worden. De laatste twee zijn de eenvoudigste: de $\operatorname{ggd}$ van teller en noemer is gelijk aan $1$.

Het bewijs van de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ dat we hier bekijken heeft eigenlijk twee componenten:

1.
Elk rationaal getal is te schrijven als een onvereenvoudigbare breuk (dat is geen deel van de definitie maar iets dat je kunt bewijzen).

2.
Als $\sqrt{2}$ rationaal is dan is dat getal dus te schrijven als een onvereenvoudigbare breuk. En dat leidt dan tot de bekende tegenspraak. (In de bewijzen die je ziet wordt stap 1 vaak overgeslagen omdat die bij het rekenen met rationale getallen al vaak is voorgekomen en bekend wordt verondersteld.)

kphart
zondag 5 september 2021

©2001-2024 WisFaq