Ik had een vraag over opdracht 21c, hoofstuk 16, van getal en ruimte deel 11 Wiskunde D. Hier vraagt het boek bij de formule f(z)=z3 welk getal op de lijn Re(z)=1 als beeld hetzelfde punt op de reele as heeft. Ik snap niet hoe ik dit moet aanpakken, de uitwerkingen vermelden dat deze punten een argument moeten hebben van 1/3\pi of -1/3\pi. Maar dat snap ik niet helemaal.
Berke
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 18 augustus 2021
Antwoord
Als machtsverheft gebeuren er twee dingen: je neem de derde macht van de modulus en het drievoud van het argument. Voor punten op de reële as heeft het argument twee mogelijkheden: 0 (plus veelvouden van 2\pi) voor positieve getallen en \pi (plus veelvouden van 2\pi) voor negatieve getallen.
Dus als z^3 reëel is geldt 3\operatorname{Arg} z=0+2k\pi of 3\operatorname{Arg} z=\pi+2k\pi; voor z met \operatorname{Re} z=1 geldt dat \operatorname{Arg} tussen -\frac12\pi en \frac12\pi ligt dus de mogelijkheden voor 3\operatorname{Arg} z die overblijven zijn -\pi, 0, en \pi, dus voor \operatorname{Arg} z houden we -\frac13\pi, 0, en \frac13\pi over.
Bij 0 krijgt je z=1 met z^3=1, met \pm\frac13\pi krijg je z_{1,2}=1\pm i\sqrt3, met z_1^3=z_2^3=-8.
Re: Complexe machtsfuncties 