\require{AMSmath}

Pythagorese drietallen

Hoi!
Voor ons OC van wiskunde moeten we een onderzoek doen naar Pythagorese drietallen. We vonden dat je met de volgende formules Pythagorese drietallen kunt vinden:

Voor alle natuurlijke getallen m en n met m $>$ n:
a = n² - m²
b = 2 · m · n
c= n² + m²

Je kan dit verklaren door deze formules in te vullen in de stelling van Pythagoras:

a²+b² = c²
$\Rightarrow$ (n² - m²)² + (2mn)² = n4 - 2n²m² + m4 + 4n²m²
= n4 + 2n²m² + m4
= (n² + m²)²

Maar weet iemand hoe deze formules van a, b en c tot stand zijn gekomen? We kunnen enkel verklaren dat ze kloppen, maar we weten nog niet WAAROM deze formules zo zijn.

Weet iemand hier toevallig meer over?

Alvast bedankt!

Groetjes de OC’ers!

Eva
3de graad ASO - zondag 16 februari 2020

Antwoord

Er waren al versies van deze formule bekend bij de oude Grieken (Plato en Euclides) zie deze site.

Maar ik heb de indruk dat wat jullie willen weten is: kun je deze formules ook afleiden uit de Stelling van Pythagoras.

Ik zal proberen jullie een schets van zo'n afleiding te geven. Je kunt het dan zelf netjes uitwerken in je verslag.

Goed we beginnen met de Stelling van Pythagoras:

$a^2+b^2=c^2$

We delen nu links en rechts door $c^2$
Dit levert:

$\eqalign{\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1}$

We noemen nu $\eqalign{x=\frac{b}{c}}$ en $\eqalign{y=\frac{a}{c}}$
We krijgen dan $x^2+y^2=1$

Dit is een vergelijking van een cirkel met straal 1.
Op deze cirkel ligt onder andere het punt (0,-1).
We gaan nu de lijn door (0,-1) met richtingscoefficient $\eqalign{\frac{m}{n}}$ snijden met de cirkel.
Deze lijn heeft de vergelijking $\eqalign{y=\frac{m}{n}x-1}$.

Invullen van y levert:

$\eqalign{x^2+(\frac{m}{n}x-1)^2=1}$

Je moet nu maar eens nagaan dat dat de snijpunten:

$(x,y)=(0,-1)$ en $\eqalign{(x,y)=(\frac{2mn}{m^2+n^2},\frac{m^2-n^2}{m^2+n^2})}$ oplevert.

Aangezien we hadden $\eqalign{x=\frac{b}{c}}$ en $\eqalign{y=\frac{a}{c}}$ kunnen we nu kiezen:

$a=m^2-n^2$
$b=2mn$
$c=m^2+n^2$

Er valt over deze parametrisatie nog wel meer op te merken maar dat kunnen jullie vast ook wel op internet vinden.

hk
maandag 17 februari 2020

©2001-2024 WisFaq