\require{AMSmath}

Differentieerbaar en continu in bepaald punt

Beste,

Gegeven:
f: $\mathbf{R}$ $\to$ $\mathbf{R}$
x $\to$ ^{(x-a)2 - (a-b)2}/_x-b - b, als x $>$ 4
x $\to$ log(sqrt(ax) e^(bx) als 0$<$x$\le$4

(Met log wordt bedoelt de natuurlijke logaritme).

Gevraagd:
Vind alle a, b zodat de functie continu en differentieerbaar is in x = 4.

Na lang lang rekenwerk ben ik gekomen tot b = ⁷/₈.
Echter kom ik er verder niet uit. Ik krijg namelijk de volgende gelijkheid om a te bepalen: 4a + log(a) = 1 + log(¹/₄). In een oogopslag zie ik dat a= ¹/₄. Ik weet echter niet hoe ik dit exact moet oplossen? Hulp is gewenst.

Met vriendelijke groet,

Erik-Jan

Erik-J
Student universiteit - zaterdag 14 september 2019

Antwoord

Beste Erik-Jan,

Je ziet in één oogopslag een oplossing. Dan kun je met "lelijk" verder redeneren de oplossing afronden: Laat zien dat $f(a)=4a+log(a)$ op haar hele domein een continue en stijgende functie is. Met als gevolg dat er slechts één oplossing kan zijn. En die had je al gezien.

Groet,

FvL
zaterdag 14 september 2019

©2001-2024 WisFaq