\require{AMSmath}

Machten en wortels

Ik zie niet in hoe 5√3³ hetzelfde is als 3^(3/5)

Kan iemand mij hierbij helpen, om dit te snappen?

Erik C
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 22 april 2019

Antwoord

Hallo Eric,

Laten we eerst een kijken waarom ⁵√3 geschreven kan worden als 3^1/5. Ik stel even:

y = ⁵√3

y is dan een getal, zodanig dat y⁵ = 3. Om y vrij te maken, verhef ik links en rechts tot de macht 1/5:

y⁵ = 3
(y⁵)^1/5 = 3^1/5
y = 3^1/5

Even controleren of deze gevonden waarde voor y juist is. Er moet gelden:
y⁵ = 3

3^1/5·3^1/5·3^1/5·3^1/5·3^1/5 =
3^{(1/5+1/5+1/5+1/5+1/5)} =
3^(5/5) = 3.
Klopt!

Nu doen we hetzelfde met de waarde 3³ in plaats van 3. Stel:

y = ⁵√(3³)

y is dan een getal, zodanig dat y⁵ = (3³).
We gaan y weer vrijmaken:
y⁵ = 3³
(y⁵)^1/5 = (3³)^1/5
y = (3³)^1/5

Volgens de rekenregel voor machten zou dan moeten gelden:
y = 3^3/5

Maar klopt dat wel? Laten we weer controleren:
Klopt het dat y⁵ = (3³)?
(3^3/5)⁵=
3^3/5·3^3/5·3^3/5·3^3/5·3^3/5 =
3^{(3/5+3/5+3/5+3/5+3/5)} =
3^(5·3/5) = 3³
Klopt!

Het handige van de notatie met gebroken machten is dat alle rekenregels voor machten en wortels gelden, en dus toegepast mogen worden. Dat rekent een stuk gemakkelijker dan het rekenen met wortels.

In het algemeen geldt:

^p√(a^q) = a^q/p

GHvD
maandag 22 april 2019

©2001-2024 WisFaq