\require{AMSmath}

Veeltermfuncties oplossen (ongelijkheden)

Beste

Ik heb een probleem met een paar dingen. Allereerst, hoe bepaal je het bereik met enkel een voorschrift gegeven? Met een grafiek is het makkelijk af te lezen maar enkel met dat gegeven loop ik helaas vast.

Het tweede probleem waar ik tegen aan loop is wanneer je een veeltermfunctie moet oplossen van een derde/vierde graad en je geen x buiten haakjes kunt zetten. Dan moet je vanzelfsprekend naar de constante term kijken maar wat nou als die 0 is? Dan kan je geen horner meer gebruiken toch?

En het laatste was nog iets moeilijkers dan de twee voorgaande. Ik hoop dat ik het goed overbreng. Hoe bepaal je exact voor welke x-waarden de ongelijkheden opgaan? Met als bijbehorende voorbeelden: f(x)$>$g(x) met f(x)= 2/3x³+2/9x²-x+1 en g(x)=x+3

Een ander waarbij het teken anders is: f(x) $\le$ g(x) met f(x)=x³-x+1 en g(x)=2x-1

Als u me kon uitleggen hoe ik dit kon oplossen zou dat echt super zijn! Dit waren de enige onderdelen die ik niet begreep voor mijn examen wiskunde. Alvast erg bedankt!

Groetjes

jan
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 16 december 2018

Antwoord

1) Met alleen een functievoorschrift zul je in vrijwel alle gevallen de eventuele toppen in de grafiek moeten bepalen m.b.v. de afgeleide functie. Maar daarmee ben je er nog niet in alle gevallen mee klaar want er kunnen asymptoten zijn en perforaties. Naarmate de voorschriften ingewikkelder worden, kan de vraag naar het bereik best behoorlijk lastig worden. Een grafiek geeft zeker houvast.

2) Wanneer de constante term er niet is, dan stijgt de kans op een ontbinding.

3) Aangenomen dat je functievoorschriften correct zijn overgenomen en dat de x³ en de x² niet in de noemer staan, kan je het als volgt aanpakken.
De gegeven ongelijkheid kun je herschrijven als 6x³ + 2x² - 18x - 18 $>$ 0
Dit komt er nu in feite op neer dat je je afvraagt wanneer de grafiek van het linkerlid boven de x-as ligt. In je vraag laat je het woord ‘exact’ vallen en dat betekent dat je de snijpunten van de grafiek en de x-as exact zult moeten bepalen. En dat ligt in dit geval niet zo gemakkelijk want hoewel de grafiek maar één keer door de x-as gaat, gebeurt dat niet in een eenvoudig te bepalen punt.
De GR laat zien dat het dicht bij het punt (2,0) ligt. Vandaar mijn eerdere opmerking: zijn de voorschriften correct overgenomen?

Het tweede geval is mooier. De ongelijkheid kun je herleiden tot x³ - 3x + 2 $\le$ 0 en dat is te schrijven als (x - 1)²(x + 2) $\le$ 0
Schets nu de grafiek van het linkerlid en bekijk waar deze op of onder de x-as ligt.
Dankzij de mooie nulpunten x = -2 en x = 1 zie je dat het antwoord is: x = 1 of x $\le$ -2

Ten slotte: je hebt gezien dat ik de gegeven ongelijkheden eerst herleidde tot een vorm waar nog maar één functie een rol speelt die in het linkerlid stond. Natuurlijk kun je ook blijven werken met de twee gegeven functies f en g. Dat komt neer op hun grafieken in één plaatje schetsen, de snijpunten exact bepalen en je dan afvragen wanneer de grafiek van f boven of onder de grafiek van g ligt. Kies je eigen aanpak zou ik zeggen.

MBL
zondag 16 december 2018

©2001-2024 WisFaq