Hallo, Hoe stel ik een discreet systeem op, gegeven dat de toename van de bevolking recht evenredig is met de bevolkingsomvang en ik als differentiaalvergelijking N'(t)=c*N(t) met t als tijd en N als het aantal mensen. Met aannames lukt mij dit wel, maar ik heb geen idee hoe je dit met letters doet en dit zou ik dus graag willen weten. Mijn tweede vraag is hoe je dit vervolgens omzet in een continu model, dus hoe je van een discreet model naar een continu model gaat?
Wiskun
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 10 juli 2018
Antwoord
De differentiaalvergelijking betekent simpelweg je gegeven, namelijk dat de bevolkingstoename $N'(t)$ recht evenredig met coëfficiënt $c$ is met de bevolkingsomvang $N(t)$. Deze differentiaalvergelijking impliceert echter al een continu systeem. Deze vergelijking is makkelijk op te lossen: de exponentiële functie is gelijk aan zijn afgeleide en we noemen de bevolkingsomvang op $t=0$ $N_0$. Je krijgt dan $N(t)=N_0\cdot e^{ct}$. Vul maar in de differentiaalvergelijking in, dan zie je zo dat dit een oplossing is.
Discreet zou je kunnen kijken naar de bevolkingstoename in 1 jaar. Die moet evenredig zijn met de bevolkingsomvang op het einde van het vorige jaar. $\Delta N_n=N_n-N_{n-1}=c\cdot N_{n-1}$, hieruit volgt: $N_n=(1+c)\cdot N_{n-1}$. Dit is een recursief voorschrift voor een rij waarin je de bevolkingsaantallen per jaar krijgt. Je kunt dit omvormen naar een expliciet voorschrift: $N_n=(1+c)^n\cdot N_0$. De groeifactor is dan 1+c.
Je kunt dit ook doen voor bevolkingstoenames per maand, dag, uur, seconde, enzovoort. Hoe kleiner je de tijdsintervallen neemt, hoe dichter je het continue geval benadert.
