Ik zou graag even bevestiging hebben of mijn antwoorden op de volgende vragen correct zijn, Alvast bedankt!
Welke vorm zou je voorstellen voor een particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking y' + 9y = 5sin3x - 7e-x
A) y = a sin3x + b cos3x + ce-x (a,b,c element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen) B) y = ax sin3x + b cos3x + ce-x (a,b,c element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen) C) y = ax sin3x + bx cos3x + ce-x(a,b,c element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen) D) y = ax sin3x+ bx cos 3x + cxe-x
Ik vermoed antwoord D (omdat 0 een oplossing is van de homogene vergelijking)
vraag 2: Beschouw de differentievergelijking yn+2 + ayn+1 + byn = 4n3n waarbij a,b element van $\mathbf{R}$ getallen zijn waarvan je weet dat 9 + 3a +b = 0 en b =/ 0. Welke vorm zou je voorstellen voor een particuliere oplossing yp?
A) yp,n = dn3n met d element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen B) yp,n = (dn+ e)·3n met d,e element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen C) yp,n = dn23n met d elemnt van $\mathbf{R}$ nader te bepalen. D) yp,n = (dn2 + en)3n met d, e element van $\mathbf{R}$ nader te bepalen
hier denk ik dat het antwoord A zal zijn
Lotte
Student universiteit België - donderdag 7 juni 2018
Antwoord
Beste Lotte,
1) Voor de term $-7e^{-x}$ is het niet nodig om $cxe^{-x}$ voor te stellen in de particuliere oplossing omdat $e^{-x}$ geen oplossing is van de homogene vergelijking of, equivalent daarmee, omdat $-1$ geen oplossing is van de bijhorende karakteristieke vergelijking.
Anderzijds zijn $\sin(3x)$ en $\cos(3x)$ wél oplossingen van de homogene vergelijking dus in je voorstel dienen deze termen met $x$ vermenigvuldigd te worden; je komt zo tot C als voorstel voor de particuliere oplossing.
2) Ik zou je theorie hierover toch nog eens grondig nalezen. Als $3^n$ geen oplossing is van de homogene vergelijking, zou je op basis van het rechterlid voor voorstel B moeten gaan: het product van een eerstegraadsveelterm met $3^n$.
Hier is $3^n$ echter wél een oplossing van de homogene vergelijking: $3$ is immers een oplossing van de karakteristieke vergelijking, dat haal je uit de voorwaarde $9 + 3a +b = 0$. Je moet je voorstel dus nog met $n$ vermenigvuldigen en zo kom je bij D.
