Ik zou graag even bevestiging hebben of mijn antwoorden op de volgende vragen correct zijn, Alvast bedankt!
Welke vorm zou je voorstellen voor een particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking y' + 9y = 5sin3x - 7e-x
A) y = a sin3x + b cos3x + ce-x (a,b,c element van \mathbf{R} nader te bepalen) B) y = ax sin3x + b cos3x + ce-x (a,b,c element van \mathbf{R} nader te bepalen) C) y = ax sin3x + bx cos3x + ce-x(a,b,c element van \mathbf{R} nader te bepalen) D) y = ax sin3x+ bx cos 3x + cxe-x
Ik vermoed antwoord D (omdat 0 een oplossing is van de homogene vergelijking)
vraag 2: Beschouw de differentievergelijking yn+2 + ayn+1 + byn = 4n3n waarbij a,b element van \mathbf{R} getallen zijn waarvan je weet dat 9 + 3a +b = 0 en b =/ 0. Welke vorm zou je voorstellen voor een particuliere oplossing yp?
A) yp,n = dn3n met d element van \mathbf{R} nader te bepalen B) yp,n = (dn+ e)·3n met d,e element van \mathbf{R} nader te bepalen C) yp,n = dn23n met d elemnt van \mathbf{R} nader te bepalen. D) yp,n = (dn2 + en)3n met d, e element van \mathbf{R} nader te bepalen
hier denk ik dat het antwoord A zal zijn
Lotte
Student universiteit België - donderdag 7 juni 2018
Antwoord
Beste Lotte,
1) Voor de term -7e^{-x} is het niet nodig om cxe^{-x} voor te stellen in de particuliere oplossing omdat e^{-x} geen oplossing is van de homogene vergelijking of, equivalent daarmee, omdat -1 geen oplossing is van de bijhorende karakteristieke vergelijking.
Anderzijds zijn \sin(3x) en \cos(3x) wél oplossingen van de homogene vergelijking dus in je voorstel dienen deze termen met x vermenigvuldigd te worden; je komt zo tot C als voorstel voor de particuliere oplossing.
2) Ik zou je theorie hierover toch nog eens grondig nalezen. Als 3^n geen oplossing is van de homogene vergelijking, zou je op basis van het rechterlid voor voorstel B moeten gaan: het product van een eerstegraadsveelterm met 3^n.
Hier is 3^n echter wél een oplossing van de homogene vergelijking: 3 is immers een oplossing van de karakteristieke vergelijking, dat haal je uit de voorwaarde 9 + 3a +b = 0. Je moet je voorstel dus nog met n vermenigvuldigen en zo kom je bij D.
