Drie rijen in $\mathbf{R}$, (xn)n element van$\mathbf{N}$, ynn element van$\mathbf{N}$ en znn element van$\mathbf{N}$, voldoen voor elke n element van $\mathbf{N}$ aan volgend stel vergelijkingen:
xn+1 = 1/2xn + 1/3y n + 1/4Zn
yn+1 = 1/3xn + 1/3y n + 1/2Zn
zn+1 = 1/6xn + 1/3y n + 1/4Zn
verder is gegeven dat x0 = 50, y0 = 20 en z0 = 10
Bereken lim van n naar oneindig van xn,lim van n naar oneindig van yn en lim van n naar oneindig van zn. Formuleer uiterst precies de eigenschappen waarop je je bij deze berekening baseert e geef nauwkeurig aan hoe die eigenschappen relevant zijn voor je berekening.
Ik heb eerst de functies in een matrix gezet om zo de eigenwaarden en eigenvectoren te berekenen zoda ik later via recursie en a.d.h.v. het invullen van de gegeven getallen de limieten kan berekenen.
Ik heb echter al op verschillende manieren de eigenvectoren proberen te bereken maar het lukt maar niet, ik denk dat ik gewoon telkens een rekenfout maak, zouden jullie mij kunnen helpen? Alvast bedankt!
Lotte
Student universiteit België - zondag 3 juni 2018
Antwoord
Je hebt vast geleerd dat een matrix als deze $1$ als eigenwaarde heeft en dat alle andere eigenwaarden kleiner zijn dan $1$ in absolute waarde. Dat betekent dat $\lim_n(x_n,y_n,z_n)$ een eigenvector bij eigenwaarde $1$ zal zijn. Verder geldt voor alle $n$-en dat $x_n+y_n+z_n=x_{n+1}+y_{n+1}+z_{n+1}$ (reken maar na). Je moet dus een eigenvector hebben waarvan de som van de coordinaten gelijk is aan $80$. Oh, en $(1,1,\frac23)$ is een eigenvector bij eigenwaarde $1$ (ga maar na).
Re: Eigenwaarden en eigenvectoren 