Ik heb moeite met het oplossen van een examenvraag van de voorbije jaren, ik weet hoe je kan controleren of een deel vrij of voortbrengend is (of beide) maar in dit geval heb ik geen idee hoe eraan te beginnen, hopelijk kunnen jullie me helpen.
De opgave is: Noteer met $\mathbf{C}$ oneindig($\mathbf{R}$) de vectorruimte van alle functies van $\mathbf{R}$ naar $\mathbf{R}$ die onbeperkt afleidbaar zijn. Beschouw voor j element van $\mathbf{N}$ volgende functies uit $\mathbf{C}$oneindig($\mathbf{R}$):
f: $\mathbf{R}$ $\to$ $\mathbf{R}$: x $\to$xjex.
a) is (f0, f1, f2, f3) een vrij deel van $\mathbf{C}$oneindig($\mathbf{R}$)? Bewijs je antwoord.
b) is (f0, f1, f2, f3) een voortbrengend deel van $\mathbf{C}$oneindig($\mathbf{R}$)? Bewijs je antwoord.
Alvast heel hard bedankt met jullie hulp!
Lotte
Student universiteit België - vrijdag 1 juni 2018
Antwoord
Beste Lotte,
Voor a moet je dus nagaan of $\left\{e^x,xe^x,x^2e^x,x^3e^x\right\}$ een vrij deel vormt. Misschien heb je hiervoor met de Wronskiaan leren werken? Ga na dat die verschilt van 0 of, dichter bij de definitie, verifieer dat de lineaire combinatie $$ae^x+bxe^x+cx^2e^x+dx^3e^x$$enkel de nulfunctie geeft (voor alle $x$!) als je alle coëfficiënten 0 neemt, bv. door substitutie van 4 verschillende waarden voor $x$.
Merk voor b op dat je a zou kunnen herhalen maar aangevuld met $f_5$; ook dat zou een vrij deel vormen. Omdat $f_5$ lineair onafhankelijk is van $f_1,f_2,f_3,f_4$ kan je $f_5$ niet schrijven als een lineaire combinatie van deze vier en dus brengen ze niet heel $C^\infty(\mathbb{R})$ voort.
