Re: Kansen en verwachtingen bij de Martingale strategie
In een simulatie met 200 keer spelen kreeg ik een totale inzet, I, van 630 en een totale uitbetaling, U, van 730.
Dat is een winst van U - I = 100.
Mijn vraag was of er formules bestaan voor de verwachte totale inzet en verwachte totale uitbetaling als functie van het aantal keer spelen k. Het lijkt erop dat de verwachting van de totale winst W[k], E(W[k]) met W[k] = U[k] - I[k] met k keer spelen geschreven kan worden als
E(W[k]) = (1/2) k
waarbij [k] gelezen moet worden als subscript k.
Ad van
Docent - zondag 10 december 2017
Antwoord
Om te beginnen: de winstkans op `rood' bij roulette is niet $\frac12$ maar $\frac{18}{37}$ (of $\frac{18}{38}$ op een Amerikaanse tafel), dus de winstverwachting zal niet gelijk zijn aan $\frac k2$. Ik begrijp de tabel in de oorspronkelijke vraag niet: de inleg bij itrial 3 is 1, maar de uitbetaling is 8. Dat kan niet kloppen; een uitbetaling van 8 hoort toch bij een inzet van 4?
Bij Uw simulatie is kennelijk honderd keer rood gevallen, met niet al te lange rijtjes nullen aan de totale inzet te zien.
De winstverwachting is inderdaad de winstkans maal het aantal spelen, dus $\frac{18}{37}k$. Dat is makkelijk te bepalen: het aantal verwachte keren rood in een rij van lengte $k$ en elke keer rood voegt 1 toe aan het winstbedrag.
De verwachte totale inzet is lastig: er zijn heel wat mogelijke rijen nullen en enen maar eerst honderd nullen en dan honderd enen levert een winst van 100 tegen een totale inzet van ongeveer $2^{100}$ en dat houdt niemand vol.
Ik zou het recursief proberen, via voorwaardelijke verwachtingen: kijk naar de eerste ronde. Je wint met kans $p$, je verliest met kans $1-p$. Dus de verwachting van $I_{k+1}$ is de som van $p\cdot(1+E(I_k))$ en $1-p$ maal de verwachte inzet van een rij spelen van lengte $k$ waarbij de eerste inzet $2$ is en de latere `begin-inzetten' gelijk zijn aan $1$. Dat is gelijk aan de volgende som: $$ \sum_{i=0}^{k-1} (1-p)^i\cdot p\cdot\bigl((2^{i+2}-2)+E(I_{k-i-1})\bigr) +(1-p)^k(2^{k+2}-2) $$ Uitleg: voor elke $i $<$ k$ bekijken we de kans op exact $i$ verliezen aan het begin, dat kost $2+\cdots+2^{i+1}=2^{i+2}-2$ aan inleg, daar tellen we de verwachting van de resterende rij van $k-(i+1)$ spellen bij op; ten slotte nemen we een rij van $k$ verliezen nog apart op.
De som is nog wat te vereenvoudigen maar ik zie niet zo snel een oplossing van de uiteindelijke recursie.
Overigens, op onderstaande link is snel berekend wat gebeurt als je met een beperkt budget aan het spelen slaat: de winstverwachting is negatief.
Dit is een reactie op vraag 85310 
