Veronderstel dat bij de studentenverkiezingen vorig academiejaar 85% van alle pedagogiekstudenten voorstander was van de nieuwe kiesploeg. 240 studenten pedagogiek brachten ook effectief hun stem uit en daaruit bleek dat ongeveer 90% voor gestemd had. a) Hoe waarschijnlijk is het om deze score of nog hoger te vinden? kunt u mij een tip geven hoe ik daaraan moet beginnen want ik heb nog een gemiddelde nog een standaardafwijking en ik weet ook niet of dit normaal verdeeld is. b) Dit jaar is het enthousiasme voor de nieuwe kiesploeg iets minder groot, ongeveer 65% van alle pedagogiekstudenten steunt het nieuwe team. Hoeveel studenten pedagogiek moeten dit jaar minstens komen stemmen zodat de steekproefproportie ‘pro stemmers’ dit jaar minstens even betrouwbaar is als die van vorig jaar? Hoe weet je wanneer het even betrouwbaar is?
Celine
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 6 december 2017
Antwoord
Hallo Celine,
Wanneer we aannemen dat de 240 studenten die hebben gestemd een willekeurige deelgroep is van alle stemgerechtigde studenten (dat zal hier de bedoeling zijn), dan is het aantal voor-stemmers binomiaal verdeeld met n=240 en p=0,85. Met de formules voor de binomiale verdeling kan je berekenen hoe groot de kans is dat minstens 90% (dus: minstens 0,9·240=216 studenten) voor stemt, dus meer dan 215 studenten:
In het laatste vakje vind je de gevraagde kans.
Echter, bij grotere aantallen wordt de binomiale verdeling vaak benaderd met een normale verdeling. De steekproefproportie blijkt dan immers normaal verdeeld met:
Wanneer X de steekproefproportie is, dan zoeken we de kans dat X minstens 0,9 is: Dit hulpje berekent de kans dat X maximaal 0,9 is. Trek deze kans van 1 af om de kans te vinden dat X minimaal 0,9 is.
Dan vraag b. Rondom de gevonden steekproefproportie kan je een betrouwbaarheidsinterval bepalen waarbinnen de werkelijke populatieproportie met een bepaalde betrouwbaarheid ligt. Zo is bijvoorbeeld het 95%-betrouwbaarheidsinterval het interval waarbinnen de populatieproportie met 95% zekerheid ligt. De breedte van dit interval hangt af van de standaardafwijking $\sigma$: hoe groter de standaardafwijking, hoe groter het betrouwbaarheidsinterval. Wil je bij de tweede stemming minstens dezelfde betrouwbaarheid als bij de eerste stemming, dan moet het betrouwbaarheidsinterval bij de tweede stemming gelijk of kleiner zijn dan bij de eerste stemming. Dat betekent dus dat de standaardafwijking gelijk of kleiner moet zijn. Bereken dus met behulp van bovenstaande formules welke waarde n moet hebben om met de nieuwe waarde van p op dezelfde waarde van $\sigma$ uit te komen, of op een kleinere waarde van $\sigma$.
