Beste Ik heb het volgende gegeven: y=ax3+bx2+cx+d gaat door de oorsprong en heeft buigpunt in(1,-2). De raaklijn in dit punt snijdt de x-as in het punt met absciswaarde 2.
David
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 11 augustus 2016
Antwoord
Hallo David,
De grafiek gaat door de oorsprong, we zien dus gelijk: d=0. Laat ik eerst de eerste en tweede afgeleide bepalen:
y = ax3+bx2+cx y' = 3ax2+2bx+c y''= 6ax+2b
Uit de gegevens is af te leiden: Buigpunt in (1,-2): yx=1=-2 en y''x=1=0. Dit levert twee vergelijkingen:
a+b+c = -2 (1) 6a+2b = 0 (2)
Verder: de helling van de grafiek in het punt (1,-2) is 3a+2b+c, dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dit punt is ook 3a+2b+c. De vergelijking van de raaklijn l is zodoende:
l = (3a+2b+c)x + q
Deze raaklijn gaat door de punten (1,-2) en (2,0). Invullen levert twee vergelijkingen:
3a+2b+c + q = -2 en 6a+4b+2c + q = 0
Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 2 en trek de onderste vergelijking hiervan af, dan vinden we q=-4. Invullen in één van deze vergelijkingen (bv. de bovenste) levert:
3a+2b+c = 2 (3)
Je hebt nu drie vergelijkingen (1), (2) en (3) met drie onbekenden: a, b en c. Oplossen van dit stelsel levert:
