In mijn cursus staat er iets over het kwalitatieve aspect van de oplossingen van een differentiaalvergelijking, maar ik begrijp het richtingsvectorveld niet helemaal... Er staat geschreven: 'Het richtingsvectorveld van de differnetiaalvergelijking y' = F(x,y) is de afbeelding Rf : R2 $\to$ R2 : (x,y) $\to$ (1/ (√(1+F(x,y)2))(1, F(x,y) Ik begrijp dit zowel conceptueel als rekentechnisch niet echt, kan iemand me helpen?
Alvast bedankt! Julie
Julie
Student universiteit België - maandag 9 mei 2016
Antwoord
Beste Julie,
De rico van de raaklijn aan de grafiek van $y=f(x)$ wordt gegeven door de afgeleide $y'$. Als $y=f(x)$ een oplossing is van de differentiaalvergelijking $y' = F(x,y)$, dan is die rico dus precies gelijk aan $F(x,y)$. Een richtingsvector die overeenkomt met deze rico is dan $(1,F(x,y))$. Op die manier kan je dus in elk punt $(x,y)$ een vector tekenen met componenten $(1,F(x,y))$ en zo ontstaat een 'richtingsvectorveld' of 'raaklijnenveld'. Als er bovendien nog een beginvoorwaarde gegeven is, kan je een oplossing gemakkelijk schetsen aan de hand van een dergelijk richtingsvectorveld.
De factor $1/\sqrt{1+F(x,y)^2}$ dient om de vector te normaliseren tot een eenheidsvector. Op deze website kan je het richtingsvectorveld laten tekenen, in dit voorbeeld voor $F(x,y) = x+y$ (met variabele $t$ i.p.v. $x$) en met een oplossing getekend die aan een bepaalde beginvoorwaarde voldoet.
In het Engels noemt men dit een "slope field"; daarop zoeken levert veel voorbeelden.
