\require{AMSmath}

Zoeken naar differentiaalvergelijking

Goede dag,
Ik vond in een Amerikaanse cursus van F.AYRES (Differential equations)volgende oefening.
Zoek de differentiaalvergelijking van alle rechten op afstand één van de oorsprong.(vrije vertaling van onderstaande tekst ...)
(Find the differential equation of all
straight lines at a unit distance from the origin.)
Het antwoord zou moeten zijn:
(xy'-y)²=1+(y')²
of x²y'²-2xyy'+y²=1+(y')²
of (x²-1)y'²-2xyy'+y²-1=0
Met welke originele vergelijking van rechten moet ik dan beginnen.
Ik zou kunnen vertrekken van y=x+1 en ook y=-x+1
of de normaal |x-y+1|/√2=1 of |-x-y+1|/√2=1 maar verder zie ik niet hoe ik deze D.V. moet kunnen vinden.
Graag een passende vergelijking om te kunnen starten en wat een beetje begeleiding bij de oplossing naar de DV toe.
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Le
Ouder - donderdag 27 augustus 2015

Antwoord

Hallo Rik,

Laten we een algemene vergelijking van een lijn opstellen die niet verticaal loopt:

ax + y + c = 0

Hierbij geldt: y' = -a

Daaruit leiden we af dat

c = -ax - y = y'x - y
c² = (y'x-y)²..........[1]

De voorwaarde dat de afstand van de lijn tot de oorsprong gelijk is aan 1:

|c| / √(a²+1) = 1
a² + 1 = c²
dus c² = 1 + (y')².....[2]

Zie voor de afstandsformule:

Afstand van een punt tot een rechte

Combineer [1] en [2] en je krijgt het gezochte antwoord.

FvL
donderdag 27 augustus 2015

©2001-2024 WisFaq