\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 36222

Re: Alternerende groep

Christophe ik vind je uitleg heel duidelijk maar ik ben de weg even kwijt wanneer je begon te spreken over de tekenhomomorfisme. Kan je het op een ander manier uitleggen?

Jonath
Student universiteit België - zaterdag 21 maart 2015

Antwoord

De permutaties in de groepen S(n) vallen uiteen in twee soorten, namelijk de even permutaties en de oneven permutaties.
Om te bepalen tot welke soort een bepaalde permutatie behoort, kun je de bedoelde permutatie schrijven als een product van transposities. Is dit een even aantal, dan is de permutatie 'even' en is het aantal transposities oneven dan is de permutatie ook 'oneven'.
De eigenschap 'even' of 'oneven' te zijn, wordt het 'teken' van de permutatie genoemd of ook wel de pariteit.
Naast de transpositiemethode kan de pariteit ook worden bepaald m.b.v. een bepaalde veelterm of door het aantal inversies te tellen.
Het blijkt nu dat de verzameling van de even permutaties een ondergroep van
S(n) is en deze ondergroep heet de alternerende groep A(n).
Het aantal elementen van A(n) is precies de helft van het aantal elementen in S(n).
Het geheimzinnige e-homomorfisme waar je naar vroeg, doet niets anders dan de even permutaties aan het getal 1 koppelen en de oneven permutaties aan het getal -1.
Beschouw dit maar als het labelen van de permutaties: op de even exemplaren plak je het label '1' en op de oneven het label '-1'.
Uiteraard moeten wel nog wat dingen vastgesteld worden, zoals dat
A(n) überhaupt een groep is en dat e inderdaad een homomorfisme is, maar dat is in de boeken te vinden.

MBL
dinsdag 24 maart 2015

©2001-2024 WisFaq