\require{AMSmath}

Kern, beeldruimte, eigenruimte

Hallo, ik heb binnenkort examen over vectorruimten. Nu zit ik al lang bezig aan dit hoofdstuk, maar snap nog altijd niet concréét wat de kern, de beeldruimte en de eigenruimte van een matrix is. Kan iemand dit duidelijk uitleggen aub?

Alvast bedankt!

Thibau
Student universiteit België - zondag 25 mei 2014

Antwoord

Beste Thibault,

We doen een poging:

Als voorbeeld nemen we een matrix A

$
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
4 & 3 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}} \right]
$

De kern is nu de oplossing van $
A\mathop x\limits^ \to = 0
$

$
\mathop x\limits^ \to = k\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
{ - 3} \\
{ - 2} \\
1 \\
\end{array}} \right) = span(3, - 3, - 2,1)
$

De dimensie van de kern (Nullity) is in deze 1 ( de nulvector tel je niet mee)

Het beeld is eigenlijk het bereik van Ax

$
A\left( {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } \\
{x_2 } \\
{x_3 } \\
{x_4 } \\
\end{array}} \right) = k\left( {\begin{array}{*{20}c}
4 \\
0 \\
1 \\
\end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
0 \\
1 \\
\end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 \\
1 \\
0 \\
\end{array}} \right)
$

De dimensie hiervan (aantal onafhankelijke vectoren) is 3.

Nu geldt dat Dim(kern)+Dim(beeld)=n
in dit geval 1+3=4

Neem een nxn Matrix bijvoorbeeld:

$
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 2 \\
4 & 3 \\
\end{array}} \right]
$

We kijken naar de volgende vergelijking.

$
A\mathop x\limits^ \to = \lambda \mathop x\limits^ \to
$

Hierbij is x niet de nulvector!
Het getal $ \lambda $ noemt men de eigenwaarde. De bijbehorende vector de eigenvector en de verzameling hiervan de eigenruimte.Laten we het gewoon eens oplossen.

$
\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 2 \\
4 & 3 \\
\end{array}} \right]x = \lambda x \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 2 \\
4 & 3 \\
\end{array}} \right]x - \lambda x = 0 \\
(\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 2 \\
4 & 3 \\
\end{array}} \right] - \lambda i)x = 0 \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{1 - \lambda } & 2 \\
4 & {3 - \lambda } \\
\end{array}} \right]x = 0 \\
\end{array}
$

Deze heeft enkel nontriviale ( niet de 0)oplossingen als de determinant=0
Dus:

$
\begin{array}{l}
(1 - \lambda )(3 - \lambda ) - 8 = 0 \\
(\lambda + 1)(\lambda - 5) = 0 \\
\lambda = - 1\;\; \vee \lambda = 5 \\
\end{array}
$

Nu nog de bijbehorende vector vinden. Ik zal die voor eigenwaarde 5 voordoen.

$
\begin{array}{l}
\lambda = 5 \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
{1 - \lambda } & 2 \\
4 & {3 - \lambda } \\
\end{array}} \right]x = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{ - 4} & 2 \\
4 & { - 2} \\
\end{array}} \right]x = 0 \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & { - 0,5} \\
0 & 0 \\
\end{array}} \right]x = 0 \\
x_2 = k \Rightarrow x_1 = 0,5k \\
\mathop x\limits^ \to = k\left( {\begin{array}{*{20}c}
{0,5} \\
1 \\
\end{array}} \right) = span(1,2) \\
controle: \\
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
1 & 2 \\
4 & 3 \\
\end{array}} \right]\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
2 \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
5 \\
{10} \\
\end{array}} \right) = 5\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
2 \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$

Mvg DvL

DvL
zondag 25 mei 2014

©2001-2024 WisFaq