\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 73092

Re: Re: L`hopital gebruiken in een opgave

Sorry, maar ik snap het echt niet. Ik begrijp niet wat je hebt gedaan in stap 5 en 7, hoe je dus hebt afgeleid? Want ik zou bij 1/cos²x de quotientregel gebruikt hebben, maar met jouw methode begrijp ik niet hoe je er zelfs aankomt.

Ik hoop dat je het kan uitleggen. Alvast bedankt voor je vorige antwoorden!

Gines
Student universiteit België - dinsdag 20 mei 2014

Antwoord

De regel van L`Hopital zegt:


We gaan kijken naar:

$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (x) - \sin (x)}}{{x^3 }}
$

Zowel de teller als de noemer gaat naar nul. Dus je past de regel toe. Dat betekent dat je de afgeleide van de teller en de afgeleide van de noemer neemt:

$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\cos ^2 (x)}} - \cos (x)}}{{3x^2 }}
$

Maar helaas, zowel de teller als de noemer gaan nog steeds naar nul. Daar was ik dan niet veel mee opgeschoten. Maar ik kan nu wel nog een keer de regel toepassen. Ik neem weer de afgeleide van de noemer en de afgeleide van de teller:

$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{2\sin (x)}}{{\cos ^3 (x)}} + \sin (x)}}{{6x}}
$

Jippie! De teller en de noemer gaan beide nog steeds naar nul. Dan nog maar een keer dan?

$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{4\sin ^2 (x) + 2}}{{\cos ^4 (x)}} + \cos (x)}}{6}
$

Nu gaat de noemer in ieder geval naar 6 en bij de teller kan je x=0 invullen. Daar komt dan 3 uit. Er is maar één conclusie mogelijk:

$
\Large\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (x) - \sin (x)}}{{x^3 }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
$

...en dat is toch wel bijzonder...

Lukt dat zo?

WvR
dinsdag 20 mei 2014

Re: Re: Re: L`hopital gebruiken in een opgave

©2001-2024 WisFaq