\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 34905

Re: Deelruimten

Hetgeen wat ik niet snap is, waarom is w1+w2 een element is van W1. U zegt dat w1+w2 een element is van W1ÈW2, maar waarom impliceert dit dan w1+w2 dan een element van W1 is.

Alvast bedankt

Daen

Daen J
Student universiteit België - zaterdag 22 december 2012

Antwoord

Als de vereniging van W1 en W2 een vectorruimte is, dan is deze verzameling gesloten onder optellen.
Er waren op een speciale manier twee vectoren w₁ en w₂ gekozen.
w₁+w₂ zit in de vereniging van W1 en W2 (want de vereniging wordt ondersteld een vectorruimte te zijn!).
Neem nu eens aan dat deze somvector in W1 zit.
W1 is lineaire ruimte en bevat met w₁ dus ook -w₁.
Maar dan zit ook (w₁+w₂) + -w₁ = w₂ in W1. Dit is echter een tegenspraak met het uitgangspunt want w₂ was niet in W1 gekozen.

Maar dan zou w₁+w₂ dus in W2 moeten liggen.
Met exact dezelfde redenering laat je dan zien dat w₁ dan óók in W₂ moet liggen. Dit botst echter ook weer met de manier waarop w₁ was gekozen.

Kortom: als je uitgaat van het gegeven dat de vereniging van W1 en W2 een vectorruimte is maar dat W1 niet in W2 bevat is (of andersom), dan blijkt dat tot bovenstaande tegenspraken te leiden.
Dan moet dus W1 wél in W2 bevat zijn (of andersom).

MBL
zondag 23 december 2012

©2001-2024 WisFaq