Gegeven: continue functie f: R2->R. Veronderstel dat f(1,2)=3 en f(3,-4)=10. Mag je in het algemeen besluiten dat er minstens één (x,y) element van R2 bestaat waarvoor f(x,y)=7?
Ik denk dat dit klopt, maar de vraag is of mijn bewijs juist (of voldoende is). Wat ik dacht is het volgende: als je een voorbeeld kan vinden waarvoor geldt dat f(x,y)=7 dan heb je het bewezen aangezien je moet bewijzen dat er MINSTENS 1 x,y bestaat.
Stel dat de functie van de vorm f:R2->R:x->ax+by is, dan is { a+2b = 3 { 3a-4b = 10
En na wat berekeningen vinden we voor a = 16/5 en b = -1/10.
De functie ziet er dus als volgt uit f:R2->R:x->(16/5)x-(1/10)y
Bestaat er nu een (x,y) waarvoor geldt dat f(x,y)=7? Ja, bijvoorbeeld x = 5 en y = 90.
Hetgeen te bewijzen viel.
Anon
Student universiteit België - dinsdag 23 oktober 2012
Antwoord
Beste Anon,
Je idee klopt een beetje, maar niet helemaal... Aangezien je moet tonen dat 7 het beeld is van minstens één koppel (x,y), volstaat het inderdaad om één koppel (x,y) te vinden waarvoor f(x,y) = 7. Maar dat moet wel voor een willekeurige functie f, want je wil dit tonen "voor elke continue functie f".
Als jij in het bewijs dan een concrete functie 'kiest' en daarvoor toont dat er een (x,y) bestaat zodat f(x,y) = 7, dan heb je het wel bewezen voor díe specifieke functie, maar niet voor een willekeurige continue functie (in het algemeen); en dat lijkt me wel de bedoeling...
Volgens mij moet je het zoeken in de richting van de tussenwaardestelling; heb je die gezien? Voor een functie van één variabele stelt die stelling dat als f continu is op [a,b] en dat als f(a) < f(b), dat er dan voor elk getal d tussen f(a) en f(b) een c tussen a en b bestaat zodat f(c) = d.
Een veralgemening bestaat voor continue functies van meerdere variabelen (bv. 2, zoals in jouw opgave) en die kan je rechtstreeks toepassen; maar je kan ook de stelling voor één variabele (als je die gezien hebt) gebruiken om jouw opgave te bewijzen.
