Een fysische grootheid Y voldoet aan volgende differentiaalvergelijking:
8(dY(t)/dt) + 2Y(t) = 10
Zoek de oplossing voor volgende drie beginvoorwaarden (Y(0) is de waarde van Y voor t = 0) en geef de oplossing grafisch weer.
a) Y(0) = 0 b) Y(0) = 15 c) Y(0) = 5
Hoe moet ik deze differentiaalvergelijking precies oplossen?
Mvg. Marie Vanhoof
Marie
Student universiteit België - dinsdag 16 oktober 2012
Antwoord
Ik weet natuurlijk niet wat je van de theorie en oplosmethoden ter beschikking hebt, maar deze DV is van het type dy/dt + P(t).y = Q(t). In jouw specifieke opgave is P(t) = 1/4 = 0,25 en Q(t) = 5/4 = 1,25
In wat hierna komt speelt òP(t)dt = ò0,25dt = 0,25t een rol en om niet te struikelen over machten met integraalvormen als exponent, noem ik dat stukje even R(t). Dus R(t) = 0,25t
De oplossing van die algemene DV wordt (gebruikmakend van allerlei techniekjes zoals een integrerende factor) dan als volgt: eR(t)y = ò(eR(t)Q(t)dt + c
Met invullen van de nu geldende waarden levert dat op:
e0,25t.y = ò1,25e0,25tdt + c ofwel
e0,25t.y = 5e0,25t + c en na deling wordt dat dan
y = 5 + c.e-0,25t
Je kunt vrij gemakkelijk nagaan dat deze y inderdaad aan jouw DV voldoet.
Voor de afleiding van de algemene oplossing zal je wel een dik boek ter beschikking hebben waar dit soort DV'en wordt aangepakt.
