In de voorbereiding voor een examen lineaire algebra kwam ik hetvolgende tegen als voorbereidende oefening:
Beschouw de functieruimte F=R5[x] van alle veeltermen van graad kleiner dan of gelijk aan 5. Beschouw de lineaire afbeelding L:F→R:f↦ int(f x, x = 0 .. 1)
Geef een basis voor de kern van L. Geef alle oplossingen van de vergelijking L(f)=2 --
Ik stel voor een vector uit deze functieruimte: p := a[0]+a[1]·x+a2·x2+a3·x3+a[4]·x4+a[5]·x5
Vervolgens bereken ik de integraal a[0]+1/2·a[1]+1/3·a2+1/4·a3+(1/5)·a[4]+(1/6)·a[5] en stel ik hem gelijk aan nul om de kern te vinden.
Ik krijg dus volgende vergelijking: -6·a[0]-3·a[1]-2·a2-(3/2)·a3-(6/5)·a[4]=0
Vervolgens zit ik vast, als oplossing zou ik voor een mogelijke basis [1-6 x5,x-3 x5,x2-2 x5,x3-3/2 x5,x4-6/5 x5] moeten bekomen. Ik heb echter geen idee hoe ik hier aan zou moeten komen. Bij voorbaat dank!
Claes
Student universiteit België - woensdag 20 juni 2012
Antwoord
Beste Daan,
In jouw vergelijking lijkt a[5] opeens verdwenen te zijn? Je bedoelt misschien "... = a[5]" in plaats van "... = 0", want het lijkt erop dat je de vergelijking die je krijgt door die integraal gelijk te stellen aan 0, hebt opgelost naar a[5]. Dan heb je: $$a_5 = -6a_0-3a_1-2a_2-\frac{3}{2}a_3-\frac{6}{5}a_4$$Dit is één vergelijking met 6 onbekenden; er zijn dus oneindig veel oplossingen en je kan 5 onbekenden kiezen als vrije parameters. Kies deze handig $a_0,a_1,\ldots,a_4$ en dan is een willekeurige oplossing van de vorm: $$\left( a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,-6a_0-3a_1-2a_2-\frac{3}{2}a_3-\frac{6}{5}a_4\right)$$Herschrijf dit eventueel naar de vorm: $$a_0(\ldots) + a_1(\ldots) + \cdots + a_5(\ldots)$$Zie je dan het verband met de voorgestelde basis van de kern?
