Hallo, Ik heb een vraag betreft de volgende ogave en met name hoe de normaal vector wordt bepaald. De opgave luidt:
Bereken òòcurl(F) . N dS
De oppervlakte S is z = 9-x2-y2 in de cilinder x2 + y2 = 4
F = xi + xzj + yk
Curl (F) = 1-xi + y-xj + z-xk
Bij het bepalen van N loop ik vast,
en dS kan ik bepalen door de afgeleide van z te nemen = -2x - 2y
Is dit juist en hoe kan ik N bepalen?
Groet,
Groet,
Mauric
Student universiteit - zaterdag 7 april 2012
Antwoord
Beste Maurice,
Als je je oppervlak waarover je integreert parametriseert als $\vec r(u,v)$, dan kan je een normaalvector bepalen als vector die loodrecht staat op beide raakvectoren (dus de afgeleide vectoren naar u en v): $\vec n = \vec r_u \times \vec r_v$, eventueel normaliseren. In dit geval is het oppervlak echter gegeven in de vorm z = f(x,y) en dan kan dat eventueel eenvoudiger - als je daar een kant-en-klare formule voor gezien hebt.
Aangezien het hier om een fluxintegraal gaat met de rotatie (curl) van het vectorveld, kan je ook de stelling van Stokes toepassen om de integraal te herleiden naar een vectoriële lijnintegraal, dan heb je geen normaalvector nodig. Bovendien is het een erg eenvoudig pad om over te integreren.
Uiteraard kan je ook de oppervlakteintegraal zelf uitrekenen en dat zou hetzelfde moeten geven.
